Seien x0 , α ∈ (0, 1). Definiere Zahlen xn ∈ R für alle n ∈ N rekursiv wie folgt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. Seien $x_{0}, \alpha \in(0,1)$. Definiere Zahlen $x_{n} \in \mathbb{R}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ rekursiv wie folgt:
$$x_{n}:=\alpha x_{n-1}\left(1-x_{n-1}\right)$$
Ziel dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass
$$x_{n} \leq \frac{x_{0}}{\frac{1}{\alpha^{n}}+n x_{0}} \forall n \in \mathbb{N}$$
(a) Zeigen Sie, dass für alle $x \in \mathbb{R}$ mit $x>-1$ gilt:
$$1-x \leq \frac{1}{1+x}$$
(b) Zeigen Sie, dass für alle nicht-negativen reellen Zahlen $x, y \in \mathbb{R}$ mit $x \leq y$ gilt:
$$\frac{x}{1+x} \leq \frac{y}{1+y}$$
(c) Zeigen Sie für die oben definierten Zahlen $x_{n}$, dass $x_{n} \in[0,1]$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
(d) Folgern Sie nun die Aussage $\left(^{*}\right)$.

Problem/Ansatz:

Die a) und b) hab ich verstanden aber die c) und d ) nicht

Answer 1

Hallo Julius, fangen wir mit (a) an. Beseitige mal bitte den Nenner in der Ungleichung. Nutze dann bitte die Binomischen Formeln. Gelingt dir mit diesen Tipps der Beweis?

Comments

Na, Julius, keine Lust mehr?

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Okay, Julius hat keine Lust mehr auf die Aufgabe.