Aufgabe:
Text erkannt:
4. Seien \( x_{0}, \alpha \in(0,1) \). Definiere Zahlen \( x_{n} \in \mathbb{R} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) rekursiv wie folgt:
$$ x_{n}:=\alpha x_{n-1}\left(1-x_{n-1}\right) $$
Ziel dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass
$$ x_{n} \leq \frac{x_{0}}{\frac{1}{\alpha^{n}}+n x_{0}} \forall n \in \mathbb{N} $$
(a) Zeigen Sie, dass für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x>-1 \) gilt:
$$ 1-x \leq \frac{1}{1+x} $$
(b) Zeigen Sie, dass für alle nicht-negativen reellen Zahlen \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x \leq y \) gilt:
$$ \frac{x}{1+x} \leq \frac{y}{1+y} $$
(c) Zeigen Sie für die oben definierten Zahlen \( x_{n} \), dass \( x_{n} \in[0,1] \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(d) Folgern Sie nun die Aussage \( \left(^{*}\right) \).
Problem/Ansatz:
Die a) und b) hab ich verstanden aber die c) und d ) nicht
