Verhältnisse im Dreieck

Question

Zeichne ein rechtwinkeliges Dreieck, a:b=4:5, c=7,5 cm und Gamma = 90 Grad

Problem/Ansatz:

Wie beginne ich? Mit c? Wie wende ich den Strahlensatz an?

Answer 1

Hallo Harald,

ich nehme an, das Dreieck soll konstruiert und nicht berechnet werden. Zeichne einen Winkel von $90°$ und nenne den Scheitel $C$ und die Schenkel $a$ und $b$..

Zeichen eine Kreis mit beliebigen Radius um $C$ (schwarz gestrichelt), der die Schenkel in $T_1$ und $Q_1$ schneidet. Das Dreieck $T_1Q_1C$ sollte rechtsdrehend sein. Trage nun die Strecke $|CT_1|$ auf dem Schenkel $b$ 5mal und auf dem Schenkel $a$ 4mal ab, wie in der Skizze zu sehen ist. Du erhältst die Punkte $T_2$ bis $T_5$ auf $b$ sowie $Q_2$ bis $Q_4$ auf $a$. Es sei $T_5=A'$ und $Q_4=B'$. Trage nun die Strecke $c= 7,5\,\text{cm}$ auf der Geraden $A'B'$ (rot) ab, so dass der neue Endpunkt $D$ von $A'$ aus gesehen in Richtung $B'$ liegt.

Die Parallele zu $b$ durch den Punkt $D$ (rot gestrichelt) schneidet $a$ in Punkt $B$. Die Parallele zur Gerade durch $A'B'$ durch den Punkt $B$ schneidet $b$ in $A$.

$\triangle ABC$ ist das gesuchte Dreieck.

Gruß Werner

PS.: Alternativ kannst Du auch durch $D$ eine Parallele zu $a$ zeichnen, die $b$ in $Q$ schneidet. Das gesuchte Dreieck ist dann $\triangle A'DQ$. So spart man sich eine Parallele.

Answer 2

Es geht wohl auch in dieser Aufgabe um die Anwendung vom Satz des Apollonius.

Zunächst mal solltest du einen Kreis mit dem Durchmesser AB=7,5 cm zeichenen.

Wegen des 90°-Winkels in Verbindung mit dem Satz des Thales liegt C irgendwo auf diesem Kreis.

Wegen des Seitenverhältnisses 4;5 liegt C zudem noch auf einen anderen Kreis, für den du einen inneren und einen äußeren Teilpunkt von AB mit dem Streckenverhältnis 4:5 brauchst.

Comments

Ohne Apollonius mit Strahlensatz :

 

Answer 3

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, a:b=4:5, c=7,5 cm und γ = 90 °

Wenn kein anderer Weg vorgegeben ist:

1.) a²+b²=c²

1.) a²+b²=7,5²   →1.)a² = 7,5²- b²

2.)$\frac{a}{b}$ =$\frac{4}{5}$  → 2.) a=$\frac{4}{5}$ b  → 2.)       a^2 =$\frac{16}{25}$ b^2

1.)=2.)

7,5^2- b^2=$\frac{16}{25}$ b^2

$\frac{16}{25}$ b^2+$\frac{25}{25}$ b^2=7,5^2

$\frac{41}{25}$ b^2=7,5^2|$\sqrt{}$

b≈5,86

a≈$\frac{4}{5}$*5,86=4,688

Answer 4

immer eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick hat.

c=7,5 cm ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck

c liegt unten,waagerecht

1) ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen,wie es im Mathe-Formelbuch steht,Kapitel → Geometrie

2) eine paralle Gerade zu Seite c zeichnen,die näher an den rechten Winkel 90° liegt

siehe,Geometrie,Strahlensatz,Vierteproportionale,Ähnlichkeiten,ähnliche Dreiecke

in der Zeichnung sehen wir nun 2 ähnliche rechtwinklige Dreiecke

1) kleines rechtwinklige Dreieck

2) großes rechtwinklige Dreieck

bei ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Seitenverhältnisse konstant

mit a/b=4/5  wählen wir a´/b´=4/5   wir wählen frei b´=1 cm → a´=4/5*1 cm=4/5 cm

1) kleines Dreieck b´/x=n mit b´=1 cm

2) großes Dreieck b/c=n

gleichgesetzt

b´/x=b/c mit c=7,5 cm

Den Rest schaffst du wohl selber.Die Aufgabe kannst du auch zeichnerisch lösen oder mit dem Satz des Pythagoras

c²=a²+b²  mit a/b=4/5 → a=4/5*b