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Aufgabe:

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Text erkannt:

\( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}-5 \mathrm{x}^{2}+4 \)

Quelle: (http://www.mathe-trainer.de/Klasse10/Ganzrationale%20Funktionen/Nullstellen/Block1/Aufgaben.htm)


Problem/Ansatz:

ich übe momentan für eine anstehende Klaus und komme gerade überhaupt nicht weiter. Auf der Seite wo ich meine Übungsaufgaben herhabe sind die Nullstellen 1,-1,2 und -2 allerdings habe ich nur 2 Nullstellen raus (1 und 2). Habe die Substitution gemacht und bin dann weiter mit der pq-formal auf 4,1 gekommen (die Vorgehensweise auf der Webseite verstehe auch nicht und wurde auch nicht im Unterricht besprochen), bis dahin alles gut allerdings versteh ich nicht wie man die

x^2 = 4
und
x^2 = 1
rauskriegt da Würzelrechnen mit - hier bei mir nicht funktioniert.

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x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Subst x^2 = z

z^2 - 5z + 4 = 0

(z - 1)(z - 4) = 0

z = 1 → x = ± √1 = ± 1

z = 4 --> x = ± √4 = ± 2

Avatar von 479 k 🚀

Vielen Viel dank habe es sonst immer so √-4  u. √4 ... gemacht weswegen es nur bei dem einen geklappt hat

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x^2 =z

z^2-5z+4=0

(z-1)(z-4)= 0

z=1 v z= 4

-> x= +-1 v x= +-2

Avatar von 81 k 🚀
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Hallo,

x^4 -5x^2 +4=0  , substituiere z=x^2

z^2 -5z +4=0 .z.B pq.Formel

z1.2= 5/2 ±√ (25/4 -16/4)

z1.2= 5/2  ±3/2

z1= 4

z2= 1

--->Resubstitution

4= x^2 ----->x1.2= ± 2

1= x^2 ----->x3.4= ± 1

Avatar von 121 k 🚀
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Aloha :)

Führe den Ausdruck auf ein Polynom 2-ter Ordnung zurück:$$f(x)=x^4-5x^2+4=(x^2)^2-5(x^2)+4$$Faktorisiere nun mit Hilfe des Satzes von Vieta:$$f(x)=(x^2-1)(x^2-4)$$Wende nun für beide Klammern die dritte binomische Formel an:$$f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$Lese die Nullstellen ab:$$x_1=1\quad;\quad x_2=-1\quad;\quad x_3=2\quad;\quad x_4=-2$$

Avatar von 148 k 🚀
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Hallo,

\(\text{Ersetze }x^2\text{ durch }z\)

und setze die Gleichung = 0

\(z^2-5z+4=0\)

Löse die Gleichung mit der pq-Formel und du erhältst

z = 1 oder z = 4

Du willst aber nicht wissen, was z ist, sondern x. Also setzt du die Ergebnisse für \(x^2\) ein:

\(x^2=4\qquad x^2=1\)

Wenn du jetzt jeweils die Wurzel ziehst, erhältst du x= 2, -2, 1 und -1

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Danke zum zweiten mal ;)

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z=x²

0=z²-5*z+4  hier p=-5 und q=4

z1,2=-(-5)/2+/-Wurzel((-5/2)²-4)=2,5+/-W(25/4-16/4)=2,5+/-W(9/4)=2,5+/-3/2

z1=5/2+3/2=8/2=4  und z2=5/2-3/2=2/2=1

z1=4=x² → x1,2=+/-Wurzel(4)=+/-2  → x1=2 und x2=2

z2=1=x² → x3,4=+/-Wurzel(1)=+/-1 → x3=-1 und x4=1

~plot~x^4-5*x^2+4;[[-5|5|-5|10]];x=-2;x=-1;x=1;x=2~plot~

Avatar von 6,7 k
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Weg ohne Substitution:

f(x)=x^4-5x^2+4

x^4-5x^2+4=0

x^4-5x^2=-4

(x^2-2,5)^2=-4+2,5^2=2,25|\( \sqrt{} \)

1.) x^2-2,5=1,5

x^2=4|\( \sqrt{} \)

x₁=2

x₂=-2

2.) x^2-2,5=-1,5

x^2=1|\( \sqrt{} \)

x₃=1

x₄=-1

Avatar von 36 k

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