Kann mir Jemand bei folgender Aufgabe helfen?
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) \( \sqrt[k]{k} \) -\( \sqrt[k+1]{k+1} \)
Hallo,
das ist eine Teleskopreihe, d. h. der Bauart \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k-a_{k+1}\), wobei \(a_k:=\sqrt[k]{k}\). Es gilt allgemein für jede Teleskopsumme:$$\sum \limits_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{2}-a_{3}\right) \dashv \cdots+\left(a_{n-1}-a_{n}\right)+\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=a_{1}-a_{n+1}$$ Das bedeutet:$$\sum_{k=1}^{\infty}{a_k-a_{k+1}}=a_1-\lim\limits_{k\to\infty}a_{k}$$ Wenn du das auf dein Problem überträgst, so wirst du sehen, dass$$\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt[k]{k}-\sqrt[k+1]{k+1}=0$$
Erstmal danke fürs antworten,
ich komme leider immer noch nicht auf das Ergebnis.
Wenn ich dies anwende bekomme ich das:
(\( \sqrt[k]{k+1} \) -\( \sqrt[k+1]{k+1} \))-(\( \sqrt[k+1]{k+1} \) -\( \sqrt[k+1+1]{k+1+1} \)
Und jetzt weiß ich schon wieder nicht weiter... :(
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