Grenzwertberechnung von Funktionen: f(x) = (x^3 + x^2-x-1)/(x-1)

Question

Wie ist limes x gegen 1 gemeint? Was ist einzusetzen? Für den x-Wert 1 weißt die funktion eine hebbare singularität auf. Wie berechne ich mit den gegebenen informationen einen Grenzwert? Ich soll "falls nötig links bzw. rechtsseitige grenzwerte betrachten. Wie ist das zu verstehen?

\( \lim\limits_{x \to 1} \) für \( f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1} \)

Comments

Versuche erst mal den Zähler geeignet zu faktorisieren.
Am einfachsten mit einer Polynomdivision Zähler durch Nenner.

Kontrolle der Division: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%28x%5E3+%2B+x%5E2-x-1%29%2F%28x-1%29

Answer 1

Hi,

wenn eine hebbare Definitionslücke vorliegt, so kann man den Faktor in Zähler und Nenner kürzen.

Führe hier also die Polynomdivision mit x-1 als Divisor durch. Du erhältst x^2+2x+1.

Das ist mit der binomischen Formel zu (x+1)^2 zu vereinfachen. Nun den Grenzwert angelegt:

lim (x+1)^2 = (1+1)^2 = 4

Durch den Punkt P(1|4) kann man stetig ergänzen.


Im Falle, dass das nicht so einfach gegangen wäre, hättest Du mit der h-Methode überprüfen müssen ob der links und rechtsseitige Grenzwert derselbe ist (durch Addition oder Subtraktion von h mit h->0). Ist dies der Fall (das ist es hier), dann existiert ein beidseitiger Grenzwert. Ist der reell kann er stetig ergänzt werden.

Grüße

Comments

Also ist mit limes gegen 1 gemeint, dass die 1 eingesetzt werden muss? Was meinst du damit, dass man durch den Punkt stetig ergänzen kann?

---

Hast du dir die Funktion in meinem Link angesehen? Bei diesem Bogen fehlt ein Punkt an der Stelle x=1. Man kann ihn aber gut einsetzen, ohne dass die Funktion dann dort springt. Das nennt man 'stetige Ergänzung'.

---

Jein.

Nimmst Du Deinen ursprünglichen Term und setzt die 1 ein so geht das nicht, da durch 0 dividiert werden würde. Hier aber handelt es sich um eine "hebbare Definitionslücke". Das bedeutet der Faktor im Nenner ist auch im Zähler zu finden. Du kannst kürzen und dann in der Tat die 1 einfach einsetzen. Im obigen Falle ist dann nicht mehr zu tun. Du bist fertig ;).


Mit "stetig ergänzen" meine ich, dass wenn Du einen Graphen hast, dass Du an der Stelle x = 1 eigentlich ein Loch machen müsstest, da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Ergänzt Du die Funktion nun aber durch P(1|4) hast Du stetig ergänzt. Es gibt nun kein "Loch" mehr ;).

---

Also ist der grenzwert der Punkt oder wie darf ich das verstehen?

---

Der Grenzwert ist nur der y-Wert des Punktes. Also 4.