Integrationsgebiet darstellen und berechnen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$\int \limits_{1}^{2}\left(\int \limits_{x}^{x^{2}}(2 x-y) d y\right) d x$

Text erkannt:

$\int \limits_{1}^{2}\left(\int \limits_{x}^{x^{2}}(2 x-y) d y\right) d x$

Problem/Ansatz:

Hallo könnte mir jemand bei diesem Doppelintegral helfen. Ich soll es sowohl berechnen als auch graphisch darstellen. (kartesische Koordinaten).

Answer 1

Aloha :)

Aus den Integrationsgrenzen kannst du erkennen, über welche Menge $M$ integriert wird:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\in[1;2]\;\land\;y\in[x;x^2]\}$$

Das ist die Fläche zwischen den Graphen von $g_1(x)=x$ und $g_2(x)=x^2$:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x·(x>=1)·(x<=2)f₂(x) = x²·(x>=1)·(x<=2)Zoom: x(1…2,1) y(0…4)

Die Fläche ist nun:$$I=\int\limits_1^2\left(\int\limits_x^{x^2}(2x-y)dy\right)dx=\int\limits_1^2\left[2xy-\frac{y^2}{2}\right]_{y=x}^{x^2}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_1^2\left(\left(2x^3-\frac{x^4}{2}\right)-\left(2x^2-\frac{x^2}{2}\right)\right)dx=\int\limits_1^2\left(-\frac{x^4}{2}+2x^3-\frac{3x^2}{2}\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[-\frac{x^5}{10}+\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{2}\right]_1^2=\left(-\frac{32}{10}+8-4\right)-\left(-\frac{1}{10}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{10}$$

Comments

mhh ich habe jetzt 9/10 raus, habe allerdings auch mit dy gerechnet. Bei dir steht jetzt ja doppelt dx. Das verstehe ich leider nciht so ganz

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Da habe ich mich vertan, gemeint war natürlich $dy$.

Habe es korrigiert, bekomme auch $\frac{9}{10}$ raus ;)

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Hallo,

in der Beschreibung von M steht x in [0,1], muss es nicht x in [1,2] sein?

Gruß Mathhilf

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Ja, gut gesehen. Danke dir. Korrigiere ich gleich. Zum Glück habe ich mit $[1;2]$ gerechnet ;)