Für welche v ist der Betrag der Richtungsableitung maximal, für welche minimal?

Question

2. Die Funktion $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ sei gegeben durch $f(x, y)=\exp (x-y)$.
(a) $\quad$ Bestimmen Sie für jedes $v \in \mathbb{R}^{2}$ mit $\|v\|_{2}=1$ die Richtungsableitung $D_{v} f(0,0)$
(b) Für welche $v$ ist der Betrag der Richtungsableitung maximal, für welche minimal?

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen den Gradienten der Funktion $f(x;y)=e^{x-y}$ im Punkt $(0|0)$:$$\operatorname{grad} f(x;y)=\binom{e^{x-y}}{-e^{x-y}}\quad\implies\quad\operatorname{grad} f(0;0)=\binom{1}{-1}$$

Einen beliebigen Einheitsvektor im $\mathbb R^2$ parametrisieren wir in Polarkoordinaten: $\vec v=\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}$. Die Richtungsbaleitung ist dann nur vom Winkel $\varphi$ abhängig:$$D_{\vec v}\vec f(0;0)=\binom{1}{-1}\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\cos\varphi-\sin\varphi$$Wegen $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}$ können wir die Richtungsableitung umschreiben:$$\cos\varphi-\sin\varphi=\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\varphi-\cos\frac{\pi}{4}\sin\varphi\right)=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)$$

Die maximale Richtungsableitung $\sqrt2$ liegt vor wenn$$1=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{max}}\right)\implies\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{max}}=\frac{\pi}{2}\implies \varphi_{\text{max}}=-\frac{\pi}{4}$$

Die minimale Richtungsableitung $-\sqrt2$ liegt vor wenn$$-1=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{min}}\right)\implies\frac{\pi}{4}-\varphi_{\text{min}}=-\frac{\pi}{2}\implies \varphi_{\text{min}}=\frac{3\pi}{4}$$

Zurückübersetzt in Vektorkomponenten:$$\vec v_{\text{max}}=\binom{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-1}$$$$\vec v_{\text{min}}=\binom{\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{-1}{1}$$

Wie erwartet liegt die Richtung des stärksten Anstiegs in Richtung des Gradienten.

Answer 2

Hallo

einfach die Richtungsableitung für einen beliebiges v  mit |v|=1 ausrechnen

dann das max für z=x-y bestimmen.

lul