Vektorenrechnung Geraden / Punkte angeben

Question

Aufgabe:

a)   Geben Sie drei Punkte an, die auf der Geraden g: x= (1/1/2)+t • (0/-2/7) liegen.

b) Geben sie eine weitere Gleichung der Geraden g an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich da am besten vorgehe.

Answer 1

Hallo,

Deine Frage deutet darauf hin, dass Du Dir noch keine Zeichnung gemacht hast - oder? Klar, es ist nicht einfach, sich das in 3D aufzumalen, aber man kann sich auch auf 2 Dimensionen (hier z.B. y und z) beschränken. Das ändert vom Prinzip her rein gar nichts.

Also zeichne Dir mal die Gerade, so wie oben angegeben, mit ihren Y- und Z-Koordinaten auf:$$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}{\color{grey}1}\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}{\color{grey}0}\\ -2\\ 7\end{pmatrix}$$

Dort siehst Du die Gerade (blau) und den Punkt $A(y=1|\, z=2)$ sowie den roten Richtungsvektor $\vec r$, der in Richtung $(y=-2|\, z=7)$ zeigt.

a)  Geben Sie drei Punkte an, die auf der Geraden g: x= (1/1/2)+t • (0/-2/7) liegen.

Man erhält beliebige Punkte auf der Geraden indem für den Parameter $t$ eine beliebige Zahl einsetzt. Also z.B. $t=2$ $$\vec x(t=2) = \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}0\\-2\\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-3\\ 16\end{pmatrix} =C$$Genauso erhält man den Punkt $A$ für $t=0$ und den Punkt $B$ für $t=1$ (s. Skizze).

b) Geben sie eine weitere Gleichung der Geraden g an.

Sei eine Geradengleichung in Parameterform gegeben$$g: \quad \vec x = A + t \cdot \vec r, \quad \text{hier:}\space A= \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 2\end{pmatrix}, \quad \vec r = \begin{pmatrix}0\\-2\\ 7\end{pmatrix}$$Dann ist jede Gerade $g'$ in Parameterform deren Aufpunkt auf $g$ liegt und deren Richtungsvektor $\vec r'$ ein Vielfaches von $\vec r$ ist, identisch zu $g$.

Beispiel: der Punkt $B$ $$B = \begin{pmatrix}1\\-1\\ 9\end{pmatrix} = \vec g(t=1)$$liegt auf $g$ und der Vektor $\vec r'$ $$\vec r' = \begin{pmatrix}0\\4\\ -14\end{pmatrix} = (-2) \cdot \vec r$$verläuft parallel zu $\vec r$, dann ist $$g': \quad \vec x = B + s \cdot \vec r' = \begin{pmatrix}1\\-1\\ 9\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\4\\ -14\end{pmatrix} \\ \implies g' = g$$die Geraden sind identisch und $g'$ ist lediglich eine andere Darstellung von $g$ in Parameterform.

Comments

A (1/2) B (1/8) C (3/16)... stimmt das?

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A (1/2) B (1/8) C (3/16)... stimmt das?

Nicht ganz - $B$ liegt bei $B(-1|\, 9)$ und $C$ bei $C(-3|\, 16)$. Du hast Dich wahrscheinlich beim Kästchenzählen und mit dem Vorzeichen vertan.

Weißt Du wie man zwei Vektoren addiert? Also z.B. den blauen und den roten

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Den Anfangs- und Endpunkt verbinden.

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Den Anfangs- und Endpunkt verbinden.

Und was kommt dann raus, wenn $$\text{blau} = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}, \quad \text{rot} = \begin{pmatrix}-2\\ 7\end{pmatrix}$$ist? Und wie wird es gerechnet?

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Ist das -1 und 9?

(Untereinandergeschrieben)

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Ist das -1 und 9?

das ist richtig! Und wie hast Du das ausgerechnet?

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Ich habe 1+ (-2) und 2+7 gerechnet.

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Ich habe 1+ (-2) und 2+7 gerechnet.

das ist völlig korrekt. Man addiert Vektoren indem man die Koordinaten einer Richtung jeweils addiert.

Was kommt dann raus, wenn man$$2 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 7\end{pmatrix} = \space ?$$rechnen soll?

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Ich denke -4 und 14?

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Ich denke -4 und 14?

Auch richtig - prima! Was kommt dabei heraus, wenn man die Punkte$$2 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix},\quad 3 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}, \quad 4 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}, \quad 5 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$in ein Koordinatensystem einzeichnet. Was haben die Punkte gemeinsam?

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... Nimm Dir mal ein Stück Papier - am besten mit Kästchen - und mache das doch mal.

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Also muss ich jetzt im Prinzip 2 mal (-2) und 2 mal 3 ausrechnen und die ganz normal in ein Koordinatensystem einzeichnen?

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Also muss ich jetzt im Prinzip 2 mal (-2) und 2 mal 3 ausrechnen und die ganz normal in ein Koordinatensystem einzeichnen?

Ja richtig. Tue das mal - und nimm Dir wirklich ein Stück Papier und mache das!

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Text erkannt:

$A_{i}$

Ich hab’s versucht. Passt das so?

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Ich hab’s versucht. Passt das so?

Ja sehr schön :-)

Was fällt Dir dabei auf? und was fällt Dir zu der Differenz zwischen zwei benachbarten Punkten ein?

Und dann addiere bitte zu jedem der Punkte noch den Vektor $$\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}$$ und versuche die neuen Punkte mit einer Gerade zu verbinden. Ist das möglich?

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Text erkannt:

A: $2 \cdot\left(\begin{array}{l}(-2) \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-4 \\ -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}(-3 \\ -5\end{array}\right)$
B: 3. $\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6 \\ 9\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-5 \\ 11\end{array}\right)$

Alle Punkte sind im gleichen Abstand.

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Ja das Bild ist richtig.

Alle Punkte sind im gleichen Abstand.

nicht nur das. Der "Abstand" hat auch noch die gleiche Richtung.

Zeichne nun in Dein Bild die Gerade $$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$ein, indem Du den Punkt $(1|\, 2)$ einzeichnest und dann den Vektor $(-2|\, 3)$, aber bitte so, dass der Vektor $(-2|\, 3)$ erst beim Punkt $A$ beginnt. Und dann verlängere den Vektor zur Geraden.

Was siehst Du dann?

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Text erkannt:

A:2 $\quad\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-4 \\ 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-3 \\ 8\end{array}\right)$
$P(\hat{2})$

Also dabei bin ich mir unsicher. Ich habe 2 Möglichkeiten eingezeichnet.

Mit fällt aber auf, dass die Gerade durch die vorher eingezeichneten Punkte verläuft.

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Nein - ist diesmal nicht richtig. Die X-Koordinate von dem ersten Punkt ist $1$ und nicht $-1$. Der sogenannte Aufpunkt $(1|\,2)$ der Geraden $h$ befindet sich rechts von der Y-Achse.

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... bin mal kurz weg

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Text erkannt:

$P\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)$

Oh okay, da habe ich mich vertan.

Passt das so?

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Oh okay, da habe ich mich vertan.
Passt das so?

Ja - so ist es genau richtig! Du solltest inzwischen bemerkt haben, dass Du da die Gerade $$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$gezeichnet hast. Und für jeden Wert für $t$ kommst Du zu einem Punkt auf der Geraden.

Ich habe meine Antwort inzwischen dahingehend erweitert (s.o.)

Jetzt zeichne mal in das Bild in der gleichen Weise die Gerade$$h': \quad \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ -6\end{pmatrix}$$ein. Was fällt Dir da auf?

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Ich habe nochmal vorher eine Frage: irgendwie verstehe ich noch nicht genau was z.B. -1/5 und 4/ -6 mit der Aufgabe zu tun hat. Könnten Sie mir das nochmal erklären? Gehört das zu b)?

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irgendwie verstehe ich noch nicht genau was z.B. -1/5 und 4/ -6 mit der Aufgabe zu tun hat. Könnten Sie mir das nochmal erklären? Gehört das zu b)?

Ja das gehört zu b)

Zeichne doch bitte die Gerade $h'$ indem Du den Punkt $(-1|\,5)$ einzeichnest und von diesem Punkt aus den Vektor $(4|\,-\!6)$. Verlängere dann den Vektor nach beiden Seiten. Du solltest dann sehen, dass $h'$ mit Gerade $h$, die Du schon vorher gezeichnet hast, deckungsgleich ist.

Also:$$h= h'$$und dann käme die Gretchenfrage: warum ist das so?

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Tut mir leid für die späte Antwort. Warum das deckungsgleich ist, weiß ich leider nicht.

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Warum das deckungsgleich ist, weiß ich leider nicht.

Dann noch mal ganz ausführlich. Wenn man eine Gerade in Parameterform vorliegen hat - wie z.B.: $$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$dann bedeutet das, dass man jeden Punkt auf der Geraden durch einen geeigneten Wert von $t$ darstellen kann.

Oben hast Du schon gesehen, dass z.B. der Punkt $(-3|\,8)$ auf der Geraden liegt. Man kann ihn mit $t=2$ erreichen - ganz konkret$$\vec h(t=2) = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}$$Die Menge aller dieser Punkte für beliebige(!) Werte von $t$ bilden die Gerade.

Nun betrachte ich nicht nur den Punkt für $t=2$ sondern die vier Punkte, die Du oben schon gezeichnet hast und berechne ihre Koordinaten; für die Gerade $h$: $$\begin{array}{r|rrrr}t=& 2& 3& 4& 5\\\hline x=& -3& -5& -7& -9\\ y=& 8& 11& 14& 17\end{array}$$und das gleiche mache ich nun für die Gerade $h'$ $$h': \quad \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\ -6\end{pmatrix}$$allerdings mit anderen Werten für $s$. Rechne ruhig mal ein oder zwei der Punkte nach. Für die Gerade $h'$ ist:$$\begin{array}{r|rrrr}s=& -0,5& -1& -1,5& -2\\\hline x=& -3& -5& -7& -9\\ y=& 8& 11& 14& 17\end{array}$$Fällt Dir was auf?

Das sind doch die gleichen Punkte wie oben! Also ist das auch die gleiche Gerade. Man kann beide Parameterformen in einander überführen, wenn man für $s=(1-t)/2$ einsetzt$$\begin{aligned}h': \quad \vec x &= \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + \frac{1-t}2 \cdot \begin{pmatrix}4\\ -6\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + (1-t) \cdot \begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix} - t\cdot \begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}\end{aligned}$$Du siehst, das ist exakt die gleiche Form wie bei $h$.

Bedenke bitte, dass es zunächst egal ist für welchen Wert von $t$ oder $s$ man zu welchem Punkt kommt. Entscheidend ist nur, dass es einen Wert für $t$ oder $s$ gibt, um einen gewählten Punkt zu erreichen. Nur dann liegt dieser Punkt auf der Geraden.

Ich habe oben meine Antwort noch vervollständigt. Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.