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Aufgabe:

a)   Geben Sie drei Punkte an, die auf der Geraden g: x= (1/1/2)+t • (0/-2/7) liegen.

b) Geben sie eine weitere Gleichung der Geraden g an.


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen? Ich weiß nicht wie ich da am besten vorgehe.

von

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Beste Antwort

Hallo,

Deine Frage deutet darauf hin, dass Du Dir noch keine Zeichnung gemacht hast - oder? Klar, es ist nicht einfach, sich das in 3D aufzumalen, aber man kann sich auch auf 2 Dimensionen (hier z.B. y und z) beschränken. Das ändert vom Prinzip her rein gar nichts.

Also zeichne Dir mal die Gerade, so wie oben angegeben, mit ihren Y- und Z-Koordinaten auf:$$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}{\color{grey}1}\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}{\color{grey}0}\\ -2\\ 7\end{pmatrix}$$

blob.png

Dort siehst Du die Gerade (blau) und den Punkt \(A(y=1|\, z=2)\) sowie den roten Richtungsvektor \(\vec r\), der in Richtung \((y=-2|\, z=7)\) zeigt.


a)  Geben Sie drei Punkte an, die auf der Geraden g: x= (1/1/2)+t • (0/-2/7) liegen.

Man erhält beliebige Punkte auf der Geraden indem für den Parameter \(t\) eine beliebige Zahl einsetzt. Also z.B. \(t=2\) $$\vec x(t=2) = \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}0\\-2\\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-3\\ 16\end{pmatrix} =C$$Genauso erhält man den Punkt \(A\) für \(t=0\) und den Punkt \(B\) für \(t=1\) (s. Skizze).


b) Geben sie eine weitere Gleichung der Geraden g an.

Sei eine Geradengleichung in Parameterform gegeben$$g: \quad \vec x = A + t \cdot \vec r, \quad \text{hier:}\space A= \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 2\end{pmatrix}, \quad \vec r = \begin{pmatrix}0\\-2\\ 7\end{pmatrix}$$Dann ist jede Gerade \(g'\) in Parameterform deren Aufpunkt auf \(g\) liegt und deren Richtungsvektor \(\vec r'\) ein Vielfaches von \(\vec r\) ist, identisch zu \(g\).

Beispiel: der Punkt \(B\) $$B = \begin{pmatrix}1\\-1\\ 9\end{pmatrix} = \vec g(t=1)$$liegt auf \(g\) und der Vektor \(\vec r'\) $$\vec r' = \begin{pmatrix}0\\4\\ -14\end{pmatrix} = (-2) \cdot \vec r$$verläuft parallel zu \(\vec r\), dann ist $$g': \quad \vec x = B + s \cdot \vec r' =  \begin{pmatrix}1\\-1\\ 9\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\4\\ -14\end{pmatrix} \\ \implies g' = g$$die Geraden sind identisch und \(g'\) ist lediglich eine andere Darstellung von \(g\) in Parameterform.

von 35 k

A (1/2) B (1/8) C (3/16)... stimmt das?

A (1/2) B (1/8) C (3/16)... stimmt das?

Nicht ganz - \(B\) liegt bei \(B(-1|\, 9)\) und \(C\) bei \(C(-3|\, 16)\). Du hast Dich wahrscheinlich beim Kästchenzählen und mit dem Vorzeichen vertan.

Weißt Du wie man zwei Vektoren addiert? Also z.B. den blauen und den roten

blob.png

Den Anfangs- und Endpunkt verbinden.

Den Anfangs- und Endpunkt verbinden.

Und was kommt dann raus, wenn $$\text{blau} = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}, \quad \text{rot} = \begin{pmatrix}-2\\ 7\end{pmatrix}$$ist? Und wie wird es gerechnet?

Ist das -1 und 9?

(Untereinandergeschrieben)

Ist das -1 und 9?

das ist richtig! Und wie hast Du das ausgerechnet?

Ich habe 1+ (-2) und 2+7 gerechnet.

Ich habe 1+ (-2) und 2+7 gerechnet.

das ist völlig korrekt. Man addiert Vektoren indem man die Koordinaten einer Richtung jeweils addiert.

Was kommt dann raus, wenn man$$2 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 7\end{pmatrix} = \space ?$$rechnen soll?

Ich denke -4 und 14?

Ich denke -4 und 14?

Auch richtig - prima! Was kommt dabei heraus, wenn man die Punkte$$2 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix},\quad 3 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}, \quad 4 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}, \quad 5 \cdot\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$in ein Koordinatensystem einzeichnet. Was haben die Punkte gemeinsam?

... Nimm Dir mal ein Stück Papier - am besten mit Kästchen - und mache das doch mal.

Also muss ich jetzt im Prinzip 2 mal (-2) und 2 mal 3 ausrechnen und die ganz normal in ein Koordinatensystem einzeichnen?

Also muss ich jetzt im Prinzip 2 mal (-2) und 2 mal 3 ausrechnen und die ganz normal in ein Koordinatensystem einzeichnen?

Ja richtig. Tue das mal - und nimm Dir wirklich ein Stück Papier und mache das!

blob.jpeg

Text erkannt:

\( A_{i} \)

Ich hab’s versucht. Passt das so?

Ich hab’s versucht. Passt das so?

Ja sehr schön :-)

Was fällt Dir dabei auf? und was fällt Dir zu der Differenz zwischen zwei benachbarten Punkten ein?

Und dann addiere bitte zu jedem der Punkte noch den Vektor $$\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}$$ und versuche die neuen Punkte mit einer Gerade zu verbinden. Ist das möglich?

blob.jpeg

Text erkannt:

A: \( 2 \cdot\left(\begin{array}{l}(-2) \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-4 \\ -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}(-3 \\ -5\end{array}\right) \)
B: 3. \( \left(\begin{array}{l}-2 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6 \\ 9\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-5 \\ 11\end{array}\right) \)

Alle Punkte sind im gleichen Abstand.

Ja das Bild ist richtig.

Alle Punkte sind im gleichen Abstand.

nicht nur das. Der "Abstand" hat auch noch die gleiche Richtung.

Zeichne nun in Dein Bild die Gerade $$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$ein, indem Du den Punkt \((1|\, 2)\) einzeichnest und dann den Vektor \((-2|\, 3)\), aber bitte so, dass der Vektor \((-2|\, 3)\) erst beim Punkt \(A\) beginnt. Und dann verlängere den Vektor zur Geraden.

Was siehst Du dann?

blob.jpeg

Text erkannt:

A:2 \( \quad\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-4 \\ 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-3 \\ 8\end{array}\right) \)
\( P(\hat{2}) \)

Also dabei bin ich mir unsicher. Ich habe 2 Möglichkeiten eingezeichnet.

Mit fällt aber auf, dass die Gerade durch die vorher eingezeichneten Punkte verläuft.

Nein - ist diesmal nicht richtig. Die X-Koordinate von dem ersten Punkt ist \(1\) und nicht \(-1\). Der sogenannte Aufpunkt \((1|\,2)\) der Geraden \(h\) befindet sich rechts von der Y-Achse.

... bin mal kurz weg

blob.jpeg

Text erkannt:

\( P\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) \)

Oh okay, da habe ich mich vertan.

Passt das so?

Oh okay, da habe ich mich vertan.
Passt das so?

Ja - so ist es genau richtig! Du solltest inzwischen bemerkt haben, dass Du da die Gerade $$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$gezeichnet hast. Und für jeden Wert für \(t\) kommst Du zu einem Punkt auf der Geraden.

Ich habe meine Antwort inzwischen dahingehend erweitert (s.o.)

Jetzt zeichne mal in das Bild in der gleichen Weise die Gerade$$h': \quad \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ -6\end{pmatrix}$$ein. Was fällt Dir da auf?

Ich habe nochmal vorher eine Frage: irgendwie verstehe ich noch nicht genau was z.B. -1/5 und 4/ -6 mit der Aufgabe zu tun hat. Könnten Sie mir das nochmal erklären? Gehört das zu b)?

irgendwie verstehe ich noch nicht genau was z.B. -1/5 und 4/ -6 mit der Aufgabe zu tun hat. Könnten Sie mir das nochmal erklären? Gehört das zu b)?

Ja das gehört zu b)

Zeichne doch bitte die Gerade \(h'\) indem Du den Punkt \((-1|\,5)\) einzeichnest und von diesem Punkt aus den Vektor \((4|\,-\!6)\). Verlängere dann den Vektor nach beiden Seiten. Du solltest dann sehen, dass \(h'\) mit Gerade \(h\), die Du schon vorher gezeichnet hast, deckungsgleich ist.

Also:$$h= h'$$und dann käme die Gretchenfrage: warum ist das so?

Tut mir leid für die späte Antwort. Warum das deckungsgleich ist, weiß ich leider nicht.blob.jpeg

Warum das deckungsgleich ist, weiß ich leider nicht.

Dann noch mal ganz ausführlich. Wenn man eine Gerade in Parameterform vorliegen hat - wie z.B.: $$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$$dann bedeutet das, dass man jeden Punkt auf der Geraden durch einen geeigneten Wert von \(t\) darstellen kann.

Oben hast Du schon gesehen, dass z.B. der Punkt \((-3|\,8)\) auf der Geraden liegt. Man kann ihn mit \(t=2\) erreichen - ganz konkret$$\vec h(t=2) = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix} $$Die Menge aller dieser Punkte für beliebige(!) Werte von \(t\) bilden die Gerade.

Nun betrachte ich nicht nur den Punkt für \(t=2\) sondern die vier Punkte, die Du oben schon gezeichnet hast und berechne ihre Koordinaten; für die Gerade \(h\): $$\begin{array}{r|rrrr}t=& 2& 3& 4& 5\\\hline x=& -3& -5& -7& -9\\ y=& 8& 11& 14& 17\end{array}$$und das gleiche mache ich nun für die Gerade \(h'\) $$h': \quad \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\ -6\end{pmatrix}$$allerdings mit anderen Werten für \(s\). Rechne ruhig mal ein oder zwei der Punkte nach. Für die Gerade \(h'\) ist:$$\begin{array}{r|rrrr}s=& -0,5& -1& -1,5& -2\\\hline x=& -3& -5& -7& -9\\ y=& 8& 11& 14& 17\end{array}$$Fällt Dir was auf?

Das sind doch die gleichen Punkte wie oben! Also ist das auch die gleiche Gerade. Man kann beide Parameterformen in einander überführen, wenn man für \(s=(1-t)/2\) einsetzt$$\begin{aligned}h': \quad \vec x &= \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + \frac{1-t}2 \cdot \begin{pmatrix}4\\ -6\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + (1-t) \cdot \begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix} - t\cdot \begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}\end{aligned}$$Du siehst, das ist exakt die gleiche Form wie bei \(h\).

Bedenke bitte, dass es zunächst egal ist für welchen Wert von \(t\) oder \(s\) man zu welchem Punkt kommt. Entscheidend ist nur, dass es einen Wert für \(t\) oder \(s\) gibt, um einen gewählten Punkt zu erreichen. Nur dann liegt dieser Punkt auf der Geraden.

Ich habe oben meine Antwort noch vervollständigt. Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

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