Aufgabe 5:
Seien die beiden Vektoren
$$ \vec{v}:=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{w}:=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right) $$
gegeben. Welche Vektoren \( \vec{x}, \vec{y} \in G S / \sim \) lösen das Gleichungssystem
$$ \begin{array}{l} 2 \vec{x}+4 \vec{y}=\vec{v} \\ 3 \vec{x}-2 \vec{y}=\vec{w} \quad ? \end{array} $$
Aufgabe 5:
$$ \begin{array}{l} 2 \vec{x}+4 \vec{y}=\vec{v} \\ 3 \vec{x}-2 \vec{y}=\vec{w} \end{array} $$
Gleichung (1) nach \( \vec{x} \) umgestellt:
$$ \vec{x}=\frac{1}{2} \vec{v}-2 \vec{y} $$
In Gleichung (2) eingesetzt:
$$ 3 \cdot\left(\frac{1}{2} \vec{v}-2 \vec{y}\right)-2 \vec{y}=\vec{w} \Rightarrow \vec{y}=\frac{3}{16} \vec{v}-\frac{1}{8} \vec{w} $$
In Gleichung (3) eingesetzt:
$$ \vec{x}=\frac{1}{2} \vec{v}-2 \cdot\left(\frac{3}{16} \vec{v}-\frac{1}{8} \vec{w}\right)=\frac{1}{8} \vec{v}+\frac{1}{4} \vec{w} $$
Hieraus folgt:
$$ \begin{array}{l} \vec{y}=\frac{3}{16} \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)-\frac{2}{16} \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)=\frac{1}{16} \cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ -21 \\ 14 \end{array}\right) \\ \vec{x}=\frac{1}{8} \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)+\frac{2}{8} \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)=\frac{1}{8} \cdot\left(\begin{array}{c} -3 \\ 9 \\ -6 \end{array}\right) \end{array} $$
Problem/Ansatz:
Wieso folgt das daraus?
woher kommt das -2/16 oder das 2/8???
