Dimension eines Vektorraums bestimmen.

Question

Aufgabe:

Ich habe folgenden Vektorraum gegeben und möchte seine Dimension bestimmen:

(V, +, •) über ℝ mit V=(0,∞) und wir definieren für ω∈ℝ und x,y∈V:

x + y = u*v , ω*x = x^ω  (Also addiert man zwei Variablen aus V, ist es als Multiplikation zu verstehen. Und wenn man eine Variable aus dem Körper mit einer aus V Multipliziert, als Potenz.)

Problem/Ansatz:

Da es über ℝ ist hätte ich gesagt muss es entweder dimV = 1 oder dimV = 0 sein. Aber wie finde ich das raus? Aber ich hatte bisher noch keine Matrizen oder Mächtigkeit oder Rang. Also am besten ohne diese Mittel. Danke

Answer 1

Hallo,

die Dimension ist 1. Eine Basis ist zum Beispiel B={2}. Denn jedes \(x \in (0,\infty)\) ist "Vielfaches" von 2:

$$\text{Mit: } \omega:=\frac{\ln(x)}{\ln(2)} \text{ gilt: } \omega \ast 2=2^{\omega}=\exp(\omega \ln(2))=x$$

Natürlich geht auch jede andere Zahl statt 2, außer 1.

Gruß Mathhilf