Anwendungsaufgaben zur Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x)= -x^3 + 30x^2 -225x +520 mit 6≤ x ≤ 20 zeigt die über einen längeren Zeitraum erfasst Anzahl der momentanen Besucher einer Diskothek im Zeitraum von 06:00 bis 20:00 Uhr.

X steht für die Uhrzeit und f(x) steht für die Besucherzahl der Diskothek.

a) Beschriebe den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang

d) Bestimme f´(8) und f´´(18) und interpretiere die Werte im Sachzusammenhang.

Problem/Ansatz:

Wie interpretiere ich die Werte der Aufgabe d) und wie beschreibe ich den Verlauf des Graphen im  Sachzusammenhang ?

Answer 1

Die Funktion f(x)= -x3 + 30x2 -225x +520 mit 6≤ x ≤ 20 zeigt die über einen längeren Zeitraum erfasst Anzahl der momentanen Besucher einer Diskothek im Zeitraum von 06:00 bis 20:00 Uhr. X steht für die Uhrzeit und f(x) steht für die Besucherzahl der Diskothek.

a) Beschriebe den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang

d) Bestimme f´(8) und f´´(18) und interpretiere die Werte im Sachzusammenhang.

d)

f'(8) = 63

Um 8 Uhr wächst die Besucherzahl der Diskothek um 63 Personen pro Stunde

f''(18) = -48

Um 18 Uhr sinkt die Änderungsrate der Besucherzahlen um 48 Besucher/Stunde pro Stunde

Answer 2

a) Beschriebe den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang

Innermathematisch würde ich sagen:

        Die Funktionswerte steigen ab der Stelle x=6
        bis zur Stelle x=15 und fallen dann bis zur
        Stelle x=20".

Übertragen auf den Sachzusammenhang bedeutet der Funktionswert ja Anzahl der Besucher und Stelle x= bedeutet Uhrzeit. Ersetze in obiger innnermathematischen Beschreibung die mathematischen Begriffe durch ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.

Natürlich kann man noch mehr dazu schreiben. Zum Beipiel von welchem Wert auf welchen Wert der Funktionswert steigt, wo die Funktionswerte am schnellsten steigen, an welcher Stelle sie am schnellesten sinken und auf welchen Wert sie letztendlich sinken.

Comments

Danke, habe die Aufgabe jetzt verstanden:).

Habe nur eine Frage zu der Aufgabe d):

Ich habe bei f´(8)= 63 und f´´(18)=-48 als Ergebnis bestimmt.

Nur jetzt besteht das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich die beiden Werten interpretieren soll.

Answer 3

d) Steigung am Graphen y=f(x)=... ist die 1.te Ableitung f´(x)=m=...

den Graphen f(x)=.. siehst du im Diagramm

Maximale Anzahl der Besucher um 15 Uhr → Maximum

bis 15 Uhr steigt die Besucherzahl → Steigung f´(8)=m>0  monoton steigend

nach 15 Uhr singt die Besucherzahl → Steigung f´(18)=m<0 monoton fallend

f´(x)=m=-3*x²+60*x-225

hier siehst du den Kurvenverlauf der Steigung f´(x)=m=... Maximum x=15 Uhr → Nullstelle    x=10 Uhr maximaler Anstieg f´(10)=m(max)

~plot~-3*x^2+60*x-225;[[0|25|-10|80]];x=5;x=10;x=15~plot~