Basisaufgabe zu Extremalaufgaben

Question

Aufgabe: Nummer 1

Aus einem Draht der Länge 120 Meter wird das Kantenmodell eines Quaders hergestellt. Die Seite b ist doppelt so gross wie die Seite c.

Wie muss die Seite c gewählt werden, damit das Volumen des entstandenen Quaders maximal ist?

Wie gross ist das Volumen?

Problem/Ansatz

Ich komme nicht draus. Mir fehlt die Seite A und deshalb kann ich irgendwie nicht rechnen. Ich bitte dringend um Hilfe. Ich habe bis jetzt nur das auf dem Foto herausgefunden.

Text erkannt:

Lösungen zu den folgenden Basisaufgaben findet man eignen sich für eine Gruppenarbeit in Puzzleform! Basisaufgaben zu Extremalaufgaben \( \rightarrow \frac{4 a+4 b+4 c=120}{ } \)
(1. Aus einem Draht der Länge 120 Meter wird das Kantenmodell eines Quaders hergestellt. Die Seite \( b \) ist doppelt so gross wie die Seite \( c . \rightarrow \) im Heft Wie muss die Seite c gewählt werden, damit das Volumen des entstandenen Quaders maximal ist? Wie gross ist das Volumen dann? \( \quad V=a \cdot b \cdot c \)
2. Gegeben ist die Funktion \( f(x)=0.5 \cdot x^{4}-3 x^{2}+4 \) \( b=2 c \)
(a) Führe eine vollständige Kurvendiskussion für \( f(x) \) durch. (Tipp: ersetze zunächst für die Nullstellenberechnung \( x^{2} \) durch \( u \) )
(b) Zwischen dem Graphen von \( f \) und der \( x \) -Achse soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Ermittle die Abmessungen des optimalen Rechtecks.
3. Es sollen zylindrische Joghurtbecher mit \( 220 \mathrm{~cm}^{3} \) Inhalt hergestellt werden, die mit einem Aluminiumdeckel verschlossen werden. Der Preis für Aluminiumblech ist \( 0.50 \mathrm{Rp} \). pro \( \mathrm{cm}^{2} \), für den verwendeten Plastik \( 0.10 \mathrm{Rp} \). pro \( \mathrm{cm}^{2} \). Wie gross sind unter diesen Annahmen der Radius und die Höhe des Bechers zu wählen, damit die Materialkosten minimal werden?
4. Einem geraden Kreiskegel mit der Höhe \( 10 \mathrm{~cm} \) und dem Grundkreisradius \( 2 \mathrm{~cm} \) ist ein Zylinder einzubeschreiben, dessen Volumen möglichst gross ist. Berechne seinen Radius \( n \) und seine Höhe \( h \). Tipp: Formuliere zunächst im schraffierten Dreieck mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen \( r \) und \( h \).

Answer 1

Wegen 4a+4b+4c=120 gilt also

a+b+c=30.

Wegen

Die Seite b ist doppelt so gross wie die Seite c.

wird daraus

a+2c+c=30, also

a+3c=30.

Mir fehlt die Seite A

Jetzt fehlt a nicht mehr, denn jetzt gilt

a=30-3c.

Dein Quader hat also die Kantenlängen

30-3c und

2c  und

c.

Drücke nun das Volumen mit c aus.

Answer 2

Maximiere V = a*b*c = a * 2c * c unter der Nebenbedingung 4a + 4*2c * 4*c = 120 m

oder löse die Nebenbedingung nach a auf und

maximiere V = (30 - 8c²) * 2c * c

In beiden Fällen ist die Lösung c = \( \sqrt{\frac{15}{8}} \) m und V = 56,25 m³

Comments

Leider kam ich nicht nach. Könnten Sie bitte den Lösungsweg mit der gennanten Lösung senden.

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Setze die erste Ableitung d/dc V(c) gleich Null und löse die Gleichung.

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Entschuldigung. Mathe ist nicht meine Stärke. Ich verstehe nicht, was Sie damit meinen.

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Meine Antwort ist Müll. Ich habe in der ersten Zeile * 4c geschrieben anstatt + 4c.

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Vielen herzlichen Dank

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Also das Volumen = 56.25 m³  stimmt?

Und als Länge der Seite c = Wurzel von 15/8 ?

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richtig wäre:

maximiere V = (30 - 3c) * 2c * c

mit Lösung c = \( \frac{20}{3} \)

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Alao stimmt das nicht ? V(c) = (30 - 8c2) * 2c * c

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Genau. Weil aus

4a + 4*2c + 4*c = 120 folgt

a = 30 - 3c

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Also wäre das volumen 888.8888888 m^{3 ?}

^{Und die Länge c = 20/3 ?}

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Ja. Ich bitte um Entschuldigung für meinen Verschreiber und den nachfolgenden unnützen Denkaufwand des Lesers.

Answer 3

1) V=a*b*h → Hauptgleichung (Hauptbedingung)

2) b=2*h → h=b/2  1.te Nebengleichung (Nebenbedingung)

3) l=2*a*b+4*h+2*a*b=4*a*b+4*h 2.te Nebengleichung (Nebenbedingungung=

wir haben hier nun 3 Unbekannte,a,b und h und 3 Gleichungen ,also lösbar

2) und

Text erkannt:

\( \underline{\text { Kurvendiskussion }} \)
0
Hinweis:Der "Sattelpunkt" (Terrassenpunkt oder STufenpunkt) nin hoennderer Wendebunkt.bei dem die Tangentensteis ein
NULL
Die Tangente liegt somit "parallel" zur x-Achse. \( f^{\prime}(x)=m=0 \)
Der "Wendepunkt" treant 2 Kurvenbögen, "konkav" und "konvex" \( \underline{K} \) riimang "k" aus dem Mathe-Formelbuch, Xapite1, "Differeatialgeometrie!. Forme1 \( k=y^{\prime \prime} /\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{(3 / 2)} \)
\( k<0 \) konvex (Rechtskrimmung) von oben o \( k>0 \) konkav (Linkskruimanung) von oben gesa
Parabel \( f(x)=a 2 * x^{2}+a 1 * x+a 0 \)
\( f^{\prime}(x)=2 * a 2 * x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=2 * \mathrm{a} 2 \quad \) hat somit "keinen Wendepunkt"
kubische Funktion \( f(x)=a 3^{*} x^{3}+a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a \)
\( f^{\prime}(x)=3 * a 3^{*} x^{2}+2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime}{ }^{\prime}(x)=6^{*} \mathrm{a} 3^{*} \mathrm{x}+2 \) an \( 2 \quad \) hat "imer einen Wendepunkt"
\( f^{\prime \prime}(x)=6^{*} a^{3} \)
Diese Funktion ergibt sich aus der "ganzrationalen Funktion 4.Gra des" \( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 3^{*} x^{3}+a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a 0 \)
\( y=f(x)=a 4 * x^{4}+a 2^{*} x^{2}+a 0 \) ist die "biquadratische Funktion" Substitution (ersetzen) \( \mathrm{z}=\mathrm{x}^{2} \) fuhrt zur Form einer "Parabel" \( \frac{f(z)=a 4 * z^{2}+a 2^{*} z+a o}{=} \) Nullstelleneraittlung uber die \( p-q- \) Formel Die biquadratische Funktion 1iegt "achssymetrisch" zur y-Achse. Bedingung "Achssymmetrie" \( f(x)=f(-x) \) und Exponenten n=gerade "Punktsymmetrie" \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=-1^{4} \mathrm{f}(-\mathrm{x}) \quad \) n=ungel

3) umgestellt und in 1) eingesetzt ergibt dann eine Funktion der Form y=f(x)=..

dann eine Kurvendiskussion durchführen → Extrema bestimmen → Maximum/Minimum

f`(x)=m=0=...

f´´(x)=...