Zeigen Sie, dass {x3 − x2, x3 − x} eine Basis für den Unterraum

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass $\{x^3 − x^2, x^3 − x\}$ eine Basis für den Unterraum

$W = \{p\in \mathbb{R}_3[x]: \space p(0) = p(1) = 0\}$

von $\mathbb{R}_3[x]$ ist. Ergaenzen Sie diese Basis zu einer Basis für $\mathbb{R}_3[x]$ und finden Sie somit ein Komplement von $W$ in $\mathbb{R}_3[x]$.


[Hinweis: Eine $n\times n$ Matrix $A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n}$ heißt symmetrisch, falls $a_{ij} = a_{ji}$ für alle $i, j = 1, . . . ,n$ gilt.]

Answer 1

Hallo :-)

Zeige doch erstmal, dass die Menge $\{x^3 − x^2, x^3 − x\}$ überhaupt die Bedingung von $W$ erfüllt. Dann kannst du per Koeffizientenvergleich zeigen, dass sich für ein beliebiges Polynom $p$ aus $W$ die Darstellung $p(x)=\alpha\cdot (x^3-x^2)+\beta\cdot (x^3-x)$ finden lässt.

Die Lineare Unabhängigkeit zeigst du im Wesentlichen auch durch Koeffizientenvergleich.

Zum Komplement von $W$ in $\mathbb{R}_3[x]$ kann man sich ja $W$ etwas ander hinschreiben:

$W = \{p\in \mathbb{R}_3[x]: \space p(0) = p(1) = 0\}=\{p\in \mathbb{R}_3[x]: \space p(0) =0\space \land \space p(1) = 0\}$.

Jetzt betrachtest du mal ein Polynom $p\in \mathbb{R}_3[x]\setminus W$. Was kannst du jetzt über dieses $p$ aussagen?