Zwei zueinander senkrechte Vektoren des Kerns von A=(1,2,3) konstruieren. Vektorrechnung

Question

Man definiert das Skalarprodukt zweier Vektoren $x, y \in \mathbb{R}^{n}$ durch $\langle x, y\rangle:=\sum \limits_{i=1} x_{i} y_{i}$, also durch die Summe der Produkte der Komponenten. Geometrisch bedeutet $\langle x, y\rangle=0$, daß die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.

Um einen Nicht-Nullvektor zu konstruieren, der auf $x:=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ senkrecht steht, $\mathrm{mu} \beta$ man also einen Vektor $0 \neq y=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right)$ im Kern der Matrix (1 2 3) angeben. Alsdann läßt sich ein weiterer Vektor $z \neq 0$ im Kern der Matrix $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ y_{1} & y_{2} & y_{3}\end{array}\right)$ finden, so dass man am Ende drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Vektoren hat, deren erster der obige Vektor $x$ ist.

Finden Sie also $y, z \in \mathbb{R}^{3}$ nach obigem Konstruktionsschema und sorgen Sie gleichzeitig dafür, daß beide Vektoren $y, z$, wie auch schon $x$, nur ganzzahlige Komponenten besitzen.

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Lösung:

(1,2,3)*           (-4
                   2                   =0
                  0)      
(1,2,3                (-6            =(0
  -4,2,0)*            -12              0)
                          10)
Begründung:

Den 2. Vektor des Kerns machte ich mit dem Vektorprodukt

1        -4            -6
 2        2          -12

3          0          10

Geht auch mit kleineren Zahlen

1        -2          -3
2        1         - 6

3          0          5

Hoffe, dass man das so lesen kann. Sollen Vektoren und Matrizen sein. ;)

Answer 1

 Lösung:

Wenn Vektor x im Kern liegt, gilt Ax=0      (Nullvektor mit so vielen Spalten, wie A Zeilen hat.)

(1,2,3)*           (-4
                          2                   =(-4+4+0) = (0)
                         0)       
(1,2,3                (-6            =(-6-24+30             =(0
  -4,2,0)*            -12             24-24+0  )              0)
                          10)
Begründung:

Den 2. Vektor des Kerns machte ich mit dem Vektorprodukt

1        -4            -6
 2        2          -12

3          0          10

Geht auch mit kleineren Zahlen

1        -2          -3
2        1          -6

3          0          5

Hoffe, dass man das so lesen kann. Sollen Vektoren und Matrizen sein. ;)