Hallo,
rechne mit den komplexen Zahlen genauso wie Du es gewohnt bist. Einzige Neuerung ist:$$i^2 = -1$$
1. Bestimmen Sie m ∈ R jeweils so, dass (3 + 2im)² − (m + i)(m − i) + 5 + 3i reell bzw. rein imaginär ist.
Forme den Term um und ordne die Koeffizienten in den reellen und imaginären Teil$$(3 + 2im)^2 − (m + i)(m − i) + 5 + 3i\\ =9 + 12im + 4i^2m^2 - m^2 + i^2 + 5 + 3i\\ = 9 + 12im - 4m^2 - m^2 -1 + 5 + 3i \\ = 13 - 5m^2 + i(12m+3)$$Soll dieser Term rein reell sein, muss \(12m+3=0\) sein, soll er rein imaginär sein, so muss \(13-5m^2=0\) sein.
2. Bestimmen Sie die Zahlen x, y ∈ R aus der Gleichung (x − 2)/(1 − i) + (y - 3)/(1 + i) = 1 - 3i
gilt hier genauso. Löse die Brüche auf, indem Du mit dem Hauptnenner multiplizierst und ordne nach den Koeffizienten des reellen und imaginären Teils$$\begin{aligned} \frac{x − 2}{1 − i}+ \frac{y - 3}{1 + i} &= 1 - 3i &&|\,\cdot (1-i)(1+i)=2\\ (x − 2)(1+i) + (y-3)(1-i) &= 2-6i \\ x - 2 +(x- 2)i +y-3 -(y-3)i&= 2 - 6i \\ x +y-5+(x-y+1)i &= 2 - 6i &&|\, +5-i\\ (\underbrace{x +y}_{=7})+(\underbrace{x-y}_{=-7})i &= 7 - 7i \\ \end{aligned}$$das führt zu einem einfachen linearen Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten \(x\) und \(y\) mit der Lösung \(x=0\) und \(y=7\).
3.Skizzieren Sie (mit Begrundung!) die folgende Menge: {z ∈ C | 3 ≤ |z + 3i + 2| < 5}
forme das etwas um$$3 \le |z + 3i + 2| \lt 5 \\ 3 \le |z - (\underbrace{-2-3i}_{=m})| \lt 5$$Da gibt es also eine (komplexe) Differenz \(z-m\), deren Betrag zwischen \(3\) und \(5\) liegen soll. Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Länge des Vektors, mit der man die Zahl in der Gaußschen Zahlenebene darstellt. Also:
die gesuchte Menge ist der Ring zwischen den Radien \(3\) und \(5\) um die Zahl \(m\); wobei der Kreis mit \(3\) zur Menge dazu gehört, aber der Kreis mit \(5\) nicht.
Gruß Werner
