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Aufgabe:

gegeben ist ein Kreis mit dem Radius 0,4m. Ein Kreissegment hat eine gegebene Fläche von 0,07157m².

Weitere Angaben habe ich nicht.

Wie kann ich auf die Höhe des Kreissegments kommen?


Problem/Ansatz:

Meine Vermutung ist, dass ich über den Winkel (am Mittelpunkt des Kreises) ans Ziel komme.

$$ A=\frac{r^{2}}{2}*(α - sin (α) ) $$

Kann mir jemand diese Formel nach α umstellen?

Oder gibt es eine bessere Lösung?

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3 Antworten

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Hallo,

Kann mir jemand diese Formel nach α umstellen?

Ja ;-) $$\alpha = \frac{2A}{r^2} + \sin(\alpha)$$Nun wirst Du natürlich zu Recht sagen, dass das wohl nicht die Umstellung ist, die Du erwartest. Zumindest kannst Du damit durch fortgesetztes Einsetzen von \(\alpha\) zum Ziel kommen. Beginne mit \(\alpha = 1\) (und stelle Deinen TR auf Bogenmass um!) und setze das Ergebnis solange wieder ein, bis es sich nicht mehr ändert. Ich bekomme$$\alpha \approx 1,854617437 \approx 106,3°$$

Die Gleichung kann man nicht analytisch nach \(\alpha\) umstellen. Da hilft nur eine nummerische Lösung. Schneller ginge es mit dem Newton-Verfahren ... $$f(\alpha)=\frac{r^{2}}{2}(\alpha-\sin (\alpha))- A \to 0 \\ \alpha := \frac{\sin (\alpha)-\alpha\cos(\alpha) + \frac{2A}{r^2}}{1-\cos(\alpha)}$$dann wärst Du nach 5 Iterationen auf mindestens 8 Dezimalstellen genau.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Wahnsinn! Vielen Dank!

Das muss ich erst einmal verinnerlichen...

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Avatar von 123 k 🚀

Ja, aber vermutlich habe ich dabei einen Fehler gemacht. Das Ergebnis entsprach nicht meinen Erwartungen.

Ja, aber vermutlich habe ich dabei einen Fehler gemacht. Das Ergebnis entsprach nicht meinen Erwartungen.

Ging mir auch so. Man muss die Fläche in der Zeile \(B\) eintragen. Dann geht's

Hoffentlich liest Schnickschnack diesen Hinweis.

Das habe ich tatsächlich richtig gemacht.

Der Link ist wirklich top!

Vielen Dank!

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Es gibt auch die Formel


\( A=r^{2} \cdot \arccos \left(1-\frac{h}{r}\right)-(r-h) \cdot \sqrt{2 r h-h^{2}} \)


Numerisch gelöst h ≈ 0,16

Avatar von 43 k

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