Wie groß ist die Seeoberfläche? Und wie lang ist der See?

Question

Aufgabe: geg: Funktionsgleichung f(x)= x³-6x²+8x und g als Parabel mit dem Scheitel S (3|0,5) und einer Nullstelle bei x=2. Die Graphen von f und g begrenzen für 2 ≤ x ≤ 4 einen See: der Graph von g stellt das nördliche Ufer dar, der von f das südliche.

Problem/Ansatz: Es wurde bereits g herausgefunden ( g(x)= -0,5x²+3x-4 ). Das Extrema wurde ebenso bereits graphisch dargestellt/ausgerechnet.

Jetzige Fragen: Wie lang ist der See vom nördlichsten bis zum südlichsten Punkt in Metern? Und auch: Wie groß die Seeoberfläche ist?

Answer 1

Das ganze sieht also wie folgt aus

a)

HP(3 | 0.5)
TP(2·√3/3 + 2 | -16·√3/9)

d = √((2·√3/3 + 2 - 3)^2 + (- 16·√3/9 - 0.5)^2) = √(144·√3 + 3909)/18 = 3.583 LE

b)

A = ∫ (2 bis 4) ((- 0.5·x^2 + 3·x - 4) - (x^3 - 6·x2 + 8·x)) dx = 14/3 = 4.667 FE

Answer 2

geg: Funktionsgleichung f(x)= x³-6x²+8x und g als Parabel mit dem Scheitel S (3|0,5) und einer Nullstelle bei x=2. Die Graphen von f und g begrenzen für 2 ≤ x ≤ 4 einen See: der Graph von g stellt das nördliche Ufer dar, der von f das südliche.

Parabel: p(x)=a*(x-3)^2+0,5

N(2|0)

p(2)=a*(2-3)^2+0,5=a+0,5

a+0,5=0

a=-0,5

p(x)=-0,5

p(x)=-0,5*(x-3)^2+0,5

"Wie lang ist der See vom nördlichsten bis zum südlichsten Punkt in Metern?

nördlichster Punkt (3|0,5)

südlichster Punkt:

f´(x)= 3x^2-12x+8

3x^2-12x+8=0

x₁=2-\( \frac{2}{3} \)*\( \sqrt{3} \)≈0,855

x₂=2+\( \frac{2}{3} \)*\( \sqrt{3} \)≈3,155→f(3,155)= 3,155^3-6*3,155^2+8*3,155≈-3,08

f´´(2-\( \frac{2}{3} \)*\( \sqrt{3} \))<0   Maximum

f´´(2+\( \frac{2}{3} \)*\( \sqrt{3} \))>0  Minimum

Entfernung der beiden Punkte:

d^2=(0,5+3,08)^2+0,08^2

d≈3,58

Fläche des Sees:

A=\( \int\limits_{2}^{4} \) (f(x)-p(x))*dx

Answer 3

Fläche zwischen 2 Kurven Differenzenformel A=∫f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

f(x)=x³-6*x²+8*x und g(x)=-0,5*x²+3*x-4  hier ist g(x)=... die obere Begrenzung

A=∫(-0,5*x²+3*x-4)-(x³-6*x²+8*x)=∫(-0,5*x²+3*x-4-1*x³+6*x²-8*x)*dx

A=∫-1*x³+5,5*x²-5*x-4)*dx

A=-1*∫x³*dx+5,5*∫x²*dx-5*∫x*dx-4*∫x⁰*dx

A=-1/4*x^4+5,5/3*x³-5/2*x²-4*x+C

A=-1/4*x^4+11/6*x³-5/2*x²-4*x+C

A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu) → xo=4 und xu=2

A=(-1/4*4^4+1176*4³-5/2*4²-4*4) - (-1/4*2^4+11/6*2³-5/2*2²-4*2)=-2 2/3) -(-7 1/3)

A=4 2/3 FE (Flächeneinheiten)

Länge von einem Kurvenstück,siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwendung Integralrecchnung

Bogenlänge (Rektifikation)  → s=∫Wurzel(1+(y´)²)*dx

Wenn nur der Abstand der beiden Punkte berechnet werden soll → Maximu/Minimum,dann Abstandsformel für 2 Punkte im 2 dimensionalen Raum

Betrag |d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²)  → Punkt P1(x1/y1) und Punkt P2(x2/y2)

Den Rest schaffst du selber.Wo die Flächen und die Bogenlängen liegen,siehst du in der Zeichnung

~plot~x^3-6*x^2+8*x;-0,5*x^2+3*x-4;[[-10|10|-10|]];x=2;x=4~plot~