Integralrechnung(Aufgabe , Wurzel)

Question

Aufgabe:

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

$$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du$$

Problem/Ansatz:

$$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du \int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du \int \limits_{a}^{b} u^{1/3}du = \frac{3}{4}u^{4/3} =>\sqrt{w}(\frac{3}{4}u^{4/3}) = \sqrt{w}(\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4})$$

Answer 1

$\begin{aligned}&\int_a^b \sqrt{w}\cdot\sqrt[3]{u^2}\,\mathrm{d}u\\=\,&\sqrt{w}\cdot\int_a^b u^{\frac{2}{3}}\,\mathrm{d}u\\=\,&\sqrt{w}\cdot\left[\frac{3}{5}u^{\frac{5}{3}}\right]_a^b\\=\,&\frac{3}{5}\sqrt{w}\cdot\left[u^{\frac{5}{3}}\right]_a^b\\=\,&\frac{3}{5}\sqrt{w}\cdot\left(b^{\frac{5}{3}}-a^{\frac{5}{3}}\right)\end{aligned}$

Comments

Danke für deine Antwort :)

Unter Integrationsrechner stand was ganz anderes(nicht meine Lösung)..

Deswegen komme ich jetzt durcheinander, da ich nicht weiß, was nun die richtige Lösung ist.

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Bei welcher meiner Umformungen ist dir nicht klar, welche Regel angewendet wurde?

Bei welcher meiner Umformungen ist dir nicht klar, warum die Regel angewendet werden darf?

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Sry habe vergessen die ursprüngliche Aufgabe anzugeben, das da war nur mein Ansatz:

Aufgabe:$$\int \limits_{}^{}\sqrt{w*\sqrt[3]{u^{2}}}du$$

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Das Integral

        $\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w*\sqrt[3]{u^{2}}}\,\mathrm{d}u$

kann mit Potenz- und Wurzelgesetzen umgeformt werden zu

        $\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}\cdot{|u|^{\frac{1}{3}}}\,\mathrm{d}u$.

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Ist mein Ansatz dann richtig oder falsch?

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$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du \int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du \int \limits_{a}^{b} u^{1/3}du$

Welche Regel hast du verwendet um das Integral in ein Produkt aus drei Integralen umzuwandeln?

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Das sollte eigentlich kein Produkt sein, sondern getrennt voneinander.

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Durch was sollten die Integrale getrennt werden?

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Mein Fehler. Hab ich vergessen.

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Wenn du vergessen hast, durch was die Integrale getrennt werden sollen, dann kann ich nicht entscheiden, ob dein Ansatz richtig oder falsch ist.

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$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du =\int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du = =\sqrt{w}(\frac{3}{4}u^{4/3}) = \sqrt{w}(\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4})$

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$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du$ ...

Du hast gegenüber $\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w\cdot\sqrt[3]{u^2}}\mathrm{d}u$ einfach nur den Teil $\sqrt[3]{u^2}$ aus der Wurzel rausgezogen. Das darfst du nicht.

$... =\int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du$

Ab hier stimmt's wieder.

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Und das Endergebnis?

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Laut dem Integralrechner ist das richtige Ergebnis w*3u^7/3/(4|u|) + C und nicht

w*3/4 u^(4/3) +C

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Allgemein gilt $\sqrt{a \cdot b } = \sqrt a\, \cdot \sqrt b$. Also kannst Du auch schreiben$$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w\cdot\sqrt[3]{u^2}}\,\mathrm{d}u = \int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}\, \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u^2}}\,\mathrm{d}u$$Und das $w$ ist doch keine Funktion von $u$ (oder?) Folglich ist das nur ein Faktor. Weiter hebt sich das Quadrat mit der Wurzel auf (mit Betrag). Also steht dann da$$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}\, \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u^2}}\,\mathrm{d}u = \sqrt{w} \int \limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|u|}\,\mathrm{d}u$$und das ist nur $u^{\frac13}$ und wird ganz normal integriert$$\sqrt{w} \int \limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|u|}\,\mathrm{d}u = \sqrt w \left[\frac 34 |u|^{\frac 43}\right]_{a}^{b}$$vorausgesetzt $u$ ändert in Intervall $[a;b]$ das Vorzeichen nicht.

Laut dem Integralrechner ist das richtige Ergebnis $w\cdot\frac{3u^{7/3}}{4|u|} + C$

Dann hätte im Integral $w$ und nicht $\sqrt w$ gestanden. Ansonsten ist das bis auf den Betragstrich das gleiche wie bei mir.

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Danke :)

Leider kam beim Integralrechnung was anderes heraus.

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Leider kam beim Integralrechnung was anderes heraus.

Nein - im Grunde nicht. Schau mal genau hin!

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Sry, meinte sqrt(w) * 3u^(7/3)/4|u| + C statt w...

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Sry, meinte sqrt(w) * 3u^(7/3)/4|u| + C statt w...

Ja eben!! ich bin schon davon ausgegangen, dass das bloß ein Tippfehler Deinerseits gewesen ist. Mein Ergebnis und das des Integralrechners ist das gleiche !$$\sqrt{w} \cdot 3u^{7/3}/(4|u|) + C = \sqrt w \cdot \frac 34 |u|^{\frac 43} + C$$wenn man mal unterstellt, dass $u \ge 0$ ist.

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Wollte nur sichergehen , ob sich u>- 0 auf das 1 und das umgeformte Ergebnis bezieht.

Answer 2

$\sqrt{w}$ ist eine Konstante. \sqrt{$\sqrt[3]{u^2}$} =$u^{\frac{1}{3}}$.

Comments

$\int \limits_{a}^{b}\sqrt{w}*\sqrt[3]{u^2}du =\int \limits_{a}^{b}w^{1/2}*u^{1/3}du = =\sqrt{w}(\frac{3}{4}u^{4/3}) = \sqrt{w}(\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4})$