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Aufgabe:

an ist eine Cauchyfolge mit an ≠ 0 für alle n, die nicht gegen 0 konvergiert.

a) Zeigen Sie, dass es ein C > 0 gibt mit |an | ≥ C für alle n.

b) Zeigen Sie unter Verwendung von

|(1/an ) - (1/am )| = (1/|am | · |an |) · | an - am| und Aufgabe a) dass die Folge 1/an eine Cauchyfolge ist.


Problem/Ansatz:

Ich komme leider überhaupt nicht darauf wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Gruß Ahnungsloser

von

Der Schlüssel für a) liegt darin, dass Du die Aussage "(a_n) konvergiert nicht gegen 0" umformst, also die Verneinung von \(a_n \to 0\) bildest.

Gruß Mathhilf

Hallo Mathhilf,

Danke für die Antwort jedoch ist mir leider nicht ganz klar was du damit meinst.

Gruß

a) Da die Folge nicht gegen 0 konvergiert \( \exists \varepsilon > 0 \) s.d. \( \forall N \in \mathbb N \exists n \ge N \) mit \( |a_n| \ge \varepsilon \).

Wir wählen also eines dieser \( \varepsilon > 0 \) und betrachten \(  \frac \varepsilon 2 > 0 \).

Nach Def. einer Cauchyfolge existiert jetzt ein \( M \in \mathbb N \) s.d.

\( \forall m,n \ge M : |a_n - a_m| < \frac \varepsilon 2 \).

Nach oben finden wir ein \( \tilde n \ge M \) mit \( |a_{\tilde n} | > \varepsilon \).

Also \( \forall m \ge M : |a_{\tilde n} - a_m| < \frac \varepsilon 2 \)

Überlege dir warum daraus \( \forall m \ge M : |a_m| > \frac \varepsilon 2 \) folgt.

Jetzt muss man sich noch überlegen warum die ersten \( M \) Folgenglieder auch kein Problem sind. Wie könnte \( C \) aussehen?

Überlege dir warum daraus \( \forall m \ge M : |a_m| > \frac \varepsilon 2 \) folgt.

Naja ich würde sagen dadurch das unser \( |a_{\tilde n} | > \varepsilon \) muss \( \forall m \ge M : |a_m| > \frac \varepsilon 2 \) folgen damit \( \forall m \ge M : |a_{\tilde n} - a_m| < \frac \varepsilon 2 \)

Was die andere Frage angeht stehe ich gerade ein wenig auf dem Schlauch.

Auch ist mir nicht so ganz klar, wie ich jetzt Teil b zeigen soll.

Naja ich würde sagen dadurch das unser...

Verwende die umgekehrte Dreiecksungleichung.

Was die andere Frage angeht stehe ich gerade ein wenig auf dem Schlauch.

Du weißt, dass

$$ |a_m| > \frac \varepsilon 2 \quad\forall m \ge M $$

Was ist mit der Menge

$$ \{ |a_k| ~|~ k < M \} $$

?

Was ist mit der Menge$$ \{ |a_k| ~|~ k < M \} $$?

Ich verstehe gerade leider nicht so genau was es mit dieser Menge auf sich haben soll?

Könntest du mir das vielleicht nochmal erklären?

Das ist eine endliche Menge reeller Zahlen. Was heißt das?

Hey MatHaeMatician, ich weiß deine Hilfe zu schätzen, jedoch verstehe ich nicht was es mit dieser Menge auf sich haben soll und wie genau die was damit zu tun hat.

Mir ist eben die Idee gekommen das ganze über Wiederspruch zu zeigen:

Angenommen es gibt kein solches C. Zu gegebenem ε > 0 gibt es ein N mit |an - am| < ε/2 für alle n > m ≥ N. Weiter gibt es ein m mit |am | < C mit C := {ε/2, |a1|, ..., |aN-1| }. Nach Wahl von C ist m ≥ N. Es gilt dann |an| ≤ |an - am| + |am| < ε/2 + ε/2 = ε für alle n > m, d.h.

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)an = 0, ein Widerspruch.

Würde das reichen?

Endliche Mengen haben immer ein Minimum. Jetzt nimmst du

$$ 0 < C_1 := \min \{ |a_k| ~|~ k < M \} $$

Dann ist \( |a_k| \ge C_1 \) für alle \( k < M \) und außerdem \( |a_k| \ge \frac \varepsilon 2 \) für alle \( k \ge M \)

Also \( |a_k| \ge C := \min(C_1, \frac \varepsilon 2) \) für alle \( k \in \mathbb N \).

Achso ja jetzt macht das Sinn für mich. Vielen Dank. Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben wie ich damit Aufgabenteil b) löse?

\( \varepsilon > 0 \). Dann existiert ein \( N \) s.d. \( \forall n,m \ge N \) gilt \( |a_n - a_m| < \varepsilon \)

Jetzt ist

$$ \left| \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_m} \right| = \frac{|a_n - a_m|}{|a_n| |a_m|} < \frac{\varepsilon}{C^2} $$

Danke dir, aber wie kommst du auf das C2 im Nenner?

Wann werden Brüche positiver Zahlen groß? Wenn der Zähler groß und der Nenner klein wird. D.h. der Zähler wird nach oben durch \( |a_n - a_m | < \varepsilon \) abgeschätzt und der Nenner durch \( C^2 \le |a_n| |a_m| \) im Nenner nach unten.

Vielen Dank für deine Hilfe.

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