Zeigen Sie, dass das Vektorfeld (g) ein Potential besitzt und berechnen sie dieses.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Vektorfeld $\vec{g}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ mit

$\vec{g}(x, y)=\left(\begin{array}{c} y^{2}(1+\cos (x+y)) \\ 2 x y-2 y+y^{2} \cos (x+y)+2 y \sin (x+y) \end{array}\right)$


a) Zeigen Sie mit Hilfe der notwendigen und der hinreichenden Bedingung, dass $\vec{g}$ ein Potential besitzt.

b) Berechnen Sie ein Potential $F$.

c) Berechnen Sie für die Kurve $C$ mit der Parameterdarstellung

$\vec{c}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}$
$\vec{c}(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{\pi t}{2}+\arcsin (1-t) \\\arctan (t)+8 t^{3}-24 t^{2}+16 t\end{array}\right),$

das Kurvenintegral $\int \limits_{C} \vec{g} \cdot d \vec{x}$.
Tipp: Verwenden Sie dabei das Potential $F$.

Problem/Ansatz:

Ich habe zwar einen Ansatz in dem ich erst integriere also

$\int_{a}^{b} y^2(1+cos(x+y) \,dx = y^2(sin(x+y)+c_1(y)$

und dann $\vec{g}(y)$ ableite und gleichsetzte, aber das erscheint mir irgendwie zu komplex und durcheinander.

Comments

Hallo,

das ist grundsätzlich ein richtiger Weg (und ich meine auch der praktische Weg). Allerdings solltest Du ein unbestimmtes Integral verwenden und auch richtig integrieren:

Also das Ergebnis des 1. Schritts wäre $F(x,y)=xy^2+y^2\sin(x+y)+c(y)$

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\vec g(x;y)=\binom{y^2(1+\cos(x+y))}{2xy-2y+y^2\cos(x+y)+2y\sin(x+y)}$$

zu a) Wir prüfen die Integrabilitätsbedingung:

$$\frac{\partial g_x}{\partial y}=2y(1+\cos(x+y))-y^2\sin(x+y)$$$$\frac{\partial g_y}{\partial x}=2y-y^2\sin(x+y)+2y\cos(x+y)$$Offensichtlich sind beide partiellen Ableitung gleich, sodass ein Potential $F$ existiert.

zu b) Wenn ein Potential $F=F(\vec r)$ existiert, ist das Wegintegral über $\vec g(\vec r)$ zwischen zwei beliebgien Punkten unabhängig vom gewählten Weg zwischen diesen Punkten. Zur Berechnung von $F$ können wir also einen beliebigen Weg von $(0|0)$ zu $(x|y)$ wählen:$$F(\vec r)=\int\limits_{(0|0)}^{(x|y)}\vec g(\vec r)\,d\vec r$$Um eine Verwechslung zwischen den Integrationsgrenzen und den Variablen zu vermeiden, benennen wir die Variablen der Funktion zur Berechnung in $s$ und $t$ um. Um uns die Berechnung möglichst einfach zu machen, wählen wir einen Weg entlang der Koordinatenachsen:$$\binom{0}{0}\mapsto\binom{x}{0}\mapsto\binom{x}{y}$$Das sieht dann so aus:$$F(x;y)=\int\limits_{(0|0)}^{(x|0)}\vec g(s;t)\binom{ds}{dt}+\int\limits_{(x|0)}^{(x|y)}\vec g(s;t)\binom{ds}{dt}$$Da sich im ersten Integral die $t$-Komponente gar nicht ändert, ist $t=0$ und $dt=0$. Im zweiten Integral ändert sich die $s$-Komponente nicht, sodass $s=x$ und $ds=0$ ist.$$\phantom{F(x;y)}=\int\limits_0^x\vec g(s;0)\binom{ds}{0}+\int\limits_0^y\vec g(x;t)\binom{0}{dt}=\int\limits_0^x g_1(s;0)\,ds+\int\limits_0^y g_2(x;t)\,dt$$$$\phantom{F(x;y)}=\int\limits_0^x0\,ds+\int\limits_0^y\left(2xt-2t+t^2\cos(x+t)+2t\sin(x+t)\right)\,dt$$$$\boxed{F(x;y)=y^2\left(\sin(x+y)+x-1\right)}$$

zu c) Hier brauchen wir nur Start- und Enpunkt in das Potential einzusetzen:$$I=\int\limits_C\vec g\,d\vec r=F(\vec c(1))-F(\vec c(0))=F\left(\frac\pi2\,\big|\,\frac\pi4\right)-F\left(\frac\pi2\,\big|\,0\right)=\frac{1}{32}\pi^2\left(\pi+\sqrt2-2\right)$$

Comments

Vielen Dank, jetzt verstehe ich auch die Formel aus dem Skript für F(x,y) besser, bei uns wurden ξ und η statt s und t verwendet, das hat in meinem Kopf alles direkt durcheinander gebracht.