Beweis: Menge ein Untervektorraum ist

Question

Aufgabenstellung: Beweisen Sie oder widerlegen Sie, dass die Menge U := {
(x, y) ∈ R^(2): (x/y) ≥ 0} ein Untervektorraum von R^(2) ist.

Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

Leider habe ich dazu nichts passendes gefunden und bisher auch keinen Ansatz gehabt. Bisher: Es gilt U =< R ^(2)  und U =/= { }. Zu untersuchen: u, u' (Element von) U => Lamda / u + Müh / u'  (Element von) U (Allquantor) Lamda, Müh (Element von) R.

Vielen Dank. Ich würde gerne für mich die Aufgaben lösen, allerdings brauche ich dafür eine Lösung um zu wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin.

Answer 1

Aloha :)

In der Definition eines Vektorraums $U$ über einem Körper $K$ heißt es eigentlich, dass $U$ nicht die leere Menge sein darf. Es gibt also ein $u\in U$. Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraums $U$ bezüglich der Skalar-Multiplikation muss dann aber auch $0_K\cdot u=0_U$ in $U$ liegen. Du kannst also die erste Forderung, dass der Untervektorraum nicht leer sein darf, dadurch ersetzen, dass der Untervektorraum die Null enthalten muss.

Hier gehört $(0|0)$ nicht zu $U$, weil $\frac00$ nicht definiert ist.

Comments

Deine Antwort ist mathematisch sicher wunderbar, aber so 100% konnte ich dir leider nicht folgen.

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Rofl... dann merk dir einfach, dass der Nullvektor in jedem Unterraum enthalten sein muss. Hier ist das nicht der Fall, also ist es kein Unterraum.

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Oki, vielen Dank. Ich habe mich nochmal hingesetzt und glaube zumindest so halb durchzublicken :D

Answer 2

(Benutze beim nächsten Mal bitte den Formeleditor! Das ist sehr schwierig zu lesen.)

Um zu überprüfen, ob eine Menge U⊆V ein Untervektorraum ist, sind drei Dinge zu zeigen:

(1) U ≠ {}

(2) Starte mit zwei beliebigen Elementen a und b aus U (Wie sehen diese hier aus?) und folgere, dass auch a+b in U liegt. (Dafür musst du a+b ausrechnen und schauen, ob es die Eigenschaft, die alle Vektoren in U erfüllen, ebenfalls erfüllt.)

(3) Starte mit einem Element a aus U und einer reellen Zahl λ und folgere, dass λ $\cdot$ a ebenfalls in U liegt. (Berechne auch dafür λ $\cdot$ a und schaue ob es die definierende Eigenschaft von U erfüllt.)

Melde dich, wenn du bei einem der Schritte weitere Denkanstöße benötigst.

Grüße,

Algebravo

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Vielen Dank für den Tipp :)

Danke, ich versuche mich daran