Reihen auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert bestimmen

Question

Aufgabe:

Folgenden Reihen auf Konvergenz prüfen und Grenzwert bestimmen:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{2^n}{3^n}}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n + 1}{n^2}}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac{n + 1}{n}}$

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei so einer Aufgabe vor? Bzw. wie beweist man im allgemeinen Reihen auf Konvergenz und deren Grenzwert?

Answer 1

Aloha :)

a) Zurückführung auf die geometrische Reihe: $\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$, falls $|q|<1$.

$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\cdot\frac{2^n}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac23\right)^n=\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{1}{\frac53}=\frac35$$

b) Zurückführung auf die divergente harmonische Reihe: $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n=\infty$$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n+1}{n^2}>\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$

c) Nullfolgen-Kriterium:

$$a_n\coloneqq(-1)^n\frac{n+1}{n}=\left\{\begin{array}{rl}1+\frac1n&\text{falls \(n\) gerade}\\[1ex]-1-\frac1n&\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right\}\stackrel{(n\to\infty)}\to\left\{\begin{array}{rl}1&\text{falls \(n\) gerade}\\[1ex]-1&\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Die Folge $(a_n)$ hat zwei Häufungspunkte, konvergiert also nicht und ist insbesondere keine Nullfolge. Daher divergiert die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche und verständliche Antwort!! :)

Answer 2

Hallo

zuerst sieht man nach ob es eine der bekannten Reihen ist

a) ist geometrische Reihe mit q=-2/3

2, stellt man fest, ob das notwendige Kriterium : Summanden bilden eine Nullfolge erfüllt ist. (c))

3. sucht man ob man eine konvergente Majorante findet oder eine divergente Minorante letztes in b)

Gruß lul

Comments

Woher weiß man, ob es eine bekannte Reihen?

Wie kamen Sie da auf die q=-2/3 und warum q?

Und wie kann ich das feststellen, ob die Summanden eine Nullfolge bilden?

Wie würde man da dann einen formalen Beweis bzw. einen Lösungsweg aufstellen?

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hallo

q=-2/3 weil die geometrische Reihe meist als ∑qⁿ geschrieben wird.

eine geometrische Reihe oder die harmonische Reihe kennt man einfach so gut, dass man sie erkennt,

für n gegen unendlich müssen die Summanden gegen 0 gehen. das hast du bei Folgen gelernt.

formal zeigt man in c)  dass lim (n->oo) 1+1/n=1≠0 ist.

bei b zeigt man dass (n+1)/n²>n/n²=1/n ist und hat mit der ∑1/n eine divergente Minorante, das ist ein formaler Beweis,

lul

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Dankeschön für deine Antwort!

Answer 3

Teilsummen bilden

a) Summenwert (geometr. Summen) = 1/(1-4/9) + (-2/3)/(1-4/9) = 3/5

a0= 1 bzw. -2/3, q=(2/3)² = 4/9

b) Summe 1/n +Summe 1/n²

c) ...