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Ich muss die folgenden Reihen auf Konvergenz überprüfen und gegebenenfalls den Grenzwert berechnen.

a) \( \sum \limits _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \begin{array} { l } { 4 k } \\ { 3 k } \end{array} \right) ^ { - I } \)

b) \( \sum \limits _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { k } { k + 1 } \right) ^ { k } \)

c) \( \sum \limits _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { k } { k ! } \right) \)

d) \( \sum \limits _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { k } { k ^ { k } } \right) \)

e) \( \sum \limits _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { k ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) \)

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Nur mal zu c) (zu den andern hab ich keinen fertigen Lösungsweg)

Man kann kürzen:

k/k! = 1/(k-1)!

Nun kannst du k-1 = n nennen und die Summe statt von 1 bis unendlich von 0 bis unendlich laufen lassen.

Summe (1/n!) erkennst du vielleicht? Das gibt die Eulersche Zahl e.

Somit ist das Resultat von c) e.

Auch bei d) kann man ein k kürzen. 

Vielleicht findest du eine ähnliche Summe in deinen Unterlagen.

 

Beantwortet von 144 k

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