Integrieren nach x oder y

Question

Aufgabe:

$\frac{1}{x^2+y^2}$ integrieren nach x oder y im ersten Schritt

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, warum meine Lösung falsch sein soll (nach x):

$\frac{1}{x^2+y^2}$ = x^-2 + y^-2 

x^-2 ergibt -$\frac{1}{x}$ und y^-2 ergibt x*y^-2 folglich die Lösung: -$\frac{1}{x}$+x*$\frac{1}{y^2}$

Leider sagt der Integralrechner was anderes.

Comments

Dieses hier

$\frac{1}{x^2+y^2}$ = x^-2 + y^-2 

ist falsch.

---

Die Zeile darunter auch.

Answer 1

Hallo,

$\frac{1}{x^2+y^2}$ = x^-2 + y^-2 

Bilde den Kehrwert, dann siehst Du direkt, dass das nicht dasselbe ist$$\begin{aligned} \frac{1}{x^2+y^2} \space&\stackrel?\leftrightarrow\space \frac 1{x^2} + \frac1{y^2} \\ x^2 + y^2 \space &\stackrel?\leftrightarrow\space \frac{1}{\frac 1{x^2} + \frac1{y^2}}\\ x^2 + y^2 \space &\stackrel?\leftrightarrow\space \frac{x^2 \cdot y^2}{y^2 + x^2} &&|\,\cdot (x^2+y^2)\\ (x^2+y^2)^2\space&\stackrel?\leftrightarrow\space x^2y^2 &&|\, \sqrt{} \\ x^2 + y^2 \space&\stackrel?\leftrightarrow\space xy \end{aligned}$$das ist nicht dasselbe - warum auch! Mal angenommen $x^2=y^2=2^2=4$:$$\frac 1{4+4} = \frac 18 \space\stackrel?\leftrightarrow\space \frac 14 + \frac 14 = \frac 12$$

Leider sagt der Integralrechner was anderes.

Wenn Du z.B.: das Integral über einem Viertel eines Kreisrings mit Radius $r=1$ bis $r=2$ berechnest; mit der Funktion $f(x,y) = 1/(x^2+y^2)$, dann kannst Du natürlich schreiben$$\dots = \int\limits_{x=0}^1\space \int\limits_{y=\sqrt{1^2-x^2}}^{\sqrt{2^2-x^2}} f(x,y)\,\text dy \,\text dx + \int\limits_{x=1}^2 \space \int\limits_{y=0}^{\sqrt{2^2-x^2}} f(x,y)\,\text dy\,\text dx$$da sollte auch das richtige raus kommen. Viel Spaß beim Ausrechnen ;-)

Tipp: das innere Integral ist$$\int \frac 1{x^2+y^2}\, \text dy = \frac{\arctan\left(\frac yx\right)}{x} + C$$Gruß Werner

Comments

ok verstehe, aber mit welcher integrationsregel lässt sich das denn lösen? ich bin mit keiner auf die richtige lösung gekommen.

---

aber mit welcher integrationsregel lässt sich das denn lösen?

das übersteigt meinen Wissensstand. Wenn man $\int \frac{\arctan(y/x)}x\,\text dx$ bei Wolfram Alpha eingibt, kommen Polylogarithmische Funktionen heraus. Was immer das ist ... ??

Aber warum willst Du es Dir so schwer machen? Benutze die Zylinderkoordinaten und damit ist es doch relativ gut nachvollziehbar - oder?