Aufgabe 1: (Bogenlängen-Integrale) Für eine stetig differenzierbare Kurve \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) ist die Jacobi-Matrix \( J_{\gamma}(t) \) für \( t \in[a, b] \) ein Vektor in \( \mathbb{R}^{n} \), der Tangentialvektor. Das Integral \( \int \limits_{a}^{b}\left\|J_{\gamma}(t)\right\| \mathrm{d} t \) berechnet die Bogenlänge der Kurve \( \gamma \) (dabei wird hier im Integranden die euklidische Norm benutzt). Berechnen Sie dieses Integral in den folgenden Fällen:
(a) NEILEsche Parabel \( \gamma_{1}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}: t \mapsto\left(t^{2}, t^{3}\right) \)
(b) Astroide \( \gamma_{2}:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{2}: t \mapsto\left(\cos ^{3} t, \sin ^{3} t\right) \)
Bonusaufgabe: (Umkehrsatz) Wir betrac \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}:(x, y, z) \mapsto(x+y+z, x y+y z+x z, x y z) . \)
Zeigen Sie, dass \( f \) an einem Punkt \( (x, y, z) \) genau dann lokal umkehrbar ist, wenn \( x, y, z \) paarweise verschieden sind.
ich habe die Zulassung schon, aber würde gerne verstehen, wie man hier an die Lösung kommt und wie die Lösung aussieht. Das ist nämlich das letzte Blatt und ich denke, dass die 2 Augaben klausurrelevant sein könnten. Könnte mir daher jemand eventuell eine musterlösung sagen?
