Für eine Struktur \( \mathcal{M}=(D, I) \) schreiben wir \( |\mathcal{M}| \) für \( |D| \), die Mächtigkeit von \( D \). Wir nennen \( \mathcal{M} \) endlich, falls die Menge \( D \) endlich ist.
a) Geben Sie für jedes \( n \in \mathbb{N}, n \geqslant 1 \) abgeschlossene Formel \( A_{n} \) an, für die gilt:
\( \mathcal{M} \models A_{n} \) genau dann, wenn \( |\mathcal{M}|=n \).
b) Es sei \( B \) eine abgeschlossene Formel, in der, " "nicht vorkommt. Wie kann aus einem endlichen Modell \( \mathcal{M} \) für \( B \) ein Modell \( \mathcal{M}^{\prime} \) für \( B \) konstruiert werden, so dass \( \left|\mathcal{M}^{\prime}\right|=|\mathcal{M}|+1 ? \)
Dass \( \mathcal{M}^{\prime} \) Modell für \( B \) ist, muss hier nicht unbedingt bewiesen werden.
c) Schließen Sie aus b), dass es für kein \( n \in \mathbb{N}, n \geqslant 1 \) eine Formel gibt, die ohne,\( =" \) auskommt und äquivalent zur Formel \( A_{n} \) aus a) ist.
