Aufgabe:
Berechnen Sie: ∫Q \int\limits_{Q}^{} Q∫ y · sin(xy) d(x,y) für Q:=[0,1] x [0,π]
Problem/Ansatz:
Was fängt man mit dem sin(xy) an? Habe jetzt schon so angefangen:
∫01 \int\limits_{0}^{1} 0∫1 ∫0π \int\limits_{0}^{π} 0∫π y · sin(xy) dy dx
= (∫01 \int\limits_{0}^{1} 0∫1y dy) · (∫0π \int\limits_{0}^{π} 0∫π sin(xy) dx)
Aloha :)
Du bist auf dem richtigen Weg, bist aber am Stolpern. Du kannst die beiden Integrale nicht faktorisieren, weil die Sinus-Funktion ja auch noch von yyy abhängt:
I=∫x=01 ∫y=0πysin(xy) dx dy=∫0πy⋅(∫01sin(xy) dx)dy=∫0πy⋅[−cos(xy)y]x=01dyI=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^\pi y\sin(xy)\,dx\,dy=\int\limits_0^\pi y\cdot\left(\int\limits_0^1 \sin(xy)\,dx\right)dy=\int\limits_0^\pi y\cdot\left[-\frac{\cos(xy)}{y}\right]_{x=0}^1 dyI=x=0∫1y=0∫πysin(xy)dxdy=0∫πy⋅⎝⎛0∫1sin(xy)dx⎠⎞dy=0∫πy⋅[−ycos(xy)]x=01dyI=∫0πy(−cos(y)y+1y)dy=∫0π(1−cos(y))dy=[y−sin(y)]0π=π\phantom{I}=\int\limits_0^\pi y\left(-\frac{\cos(y)}{y}+\frac1y\right)dy=\int\limits_0^\pi \left(1-\cos(y)\right)dy=\left[y-\sin(y)\right]_0^\pi=\piI=0∫πy(−ycos(y)+y1)dy=0∫π(1−cos(y))dy=[y−sin(y)]0π=π
Hallo
als Produkt geht das nicht! zuerst sin(xy)dx integrieren und die Grenzen einsetzen, dann nach y integrieren.
Gruß lul
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