Bestimme a, b so, dass f auf R2 stetig ist

Question

Wir betrachten die Abbildung $\vec{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$
$$\vec{f}(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} x^{2} y^{2} \sin \frac{1}{y^{4}} \\ e^{y}+2 \cos (y) \end{array}\right) & \quad \text { für } y \neq 0 \\ \left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right) & \text { für } y=0 \end{array}\right.$$
Bestimmen Sie $a, b$ so, dass $\vec{f}$ auf $\mathbb{R}^{2}$ stetig ist.
Dann ist $a=$ und $b=$

Wenn mir jemand den Rechenweg zeigen kann, wäre es toll!

Answer 1

Hallo,

untersuche beide Komponenten dahingehend, was passiert, wenn $y\to 0$:$$\lim\limits_{y\to 0}x^2y^2\sin\left(\frac{1}{y^4}\right)=x^2\cdot \lim\limits_{y^2\to 0}y\sin\left(\frac{1}{y^2}\right)=0 \Rightarrow \boxed{a=0}\\ \lim\limits_{y\to 0}e^y+2\cos(y)=e^0+2\cos(0)=1+2=3 \Rightarrow \boxed{b=3}$$ Dass der erste Grenzwert $0$ ist, macht man sich dadurch klar, dass $\left|\sin\left(\frac{1}{y^2}\right)\right|\leq 1$ und $y\xrightarrow{y\to 0} 0$ gilt.

Comments

Hast du bei dem ersten, wo x²y²sin(1/y⁴) steht, x auch 0 gesetzt?

weil in der Aufgabenstellung steht ja y ungleich 0.

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Ne, habe ich nicht, aber in der Grenzwertbetrachtung $y\to 0$ bzw. $y^2\to 0$ ist $x$ wie eine Konstante zu behandeln. Daher kann man dieselbe rausziehen.

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Also ich habe verstanden, wie du beim zweiten auf 3 gekommen bist, aber nicht oben auf 0 und wie kommst du von y⁴ auf y² ?

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Das ist eine etwas saloppe Schreibweise. Besser wäre es, wenn man die Variablentransformation innerhalb des Limesoperators kenntlich macht. Du musst das nicht machen, das ist nicht notwendig. Die gleiche Argumention trifft auf das Quadrat zu.

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Ah oki super, was ich aber nicht verstehe wie du auf a=0 kommst, beim zweiten hat man ja y=0 gesetzt und hat 3 bekommen, aber wie ist es bei ersten?

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du hast ja geschrieben:

"Dass der erste Grenzwert $0$ ist, macht man sich dadurch klar, dass $\left|\sin\left(\frac{1}{y^2}\right)\right|\leq 1$ und $y\xrightarrow{y\to 0} 0$ gilt."

Wie erkennt man aber das Ι sin ($\frac{1}{y^2}$) Ι ≤ 1 ist?