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Parametrisieren Sie die Menge \( R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0\right\} \) mit Polarkoordinaten.
Es gilt
$$ \mathrm{F}(R)=\int \limits_{R} 1 d x d y=\int \limits_{r=1}^{a} \int \limits_{\varphi=0}^{b \pi} c r d \varphi d r=\frac{d}{2} \pi $$
mit \( a= \)              \( \mathbf{} b= \)             \( \mathbf{}c= \)               \( \mathbf{} \) und \( d= \)                                                                                                            (Hier bezeichnet \( F(R) \) den Flaecheninhalt \( \operatorname{von} R \).)

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Weißt du denn schon, wie R aussieht?

1 Antwort

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Aloha :)

Gesucht ist die Fläche der Punktmenge$$R=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,1\le x^2+y^2\le 4\;\land\;y\ge0\right\}$$In Polarkoordinaten gilt:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Die Bedinungen in der Punktmenge \(R\) müssen wir noch berücksichtigen, das heißt:$$1\le x^2+y^2\le 4\implies 1\le(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\le4\implies1\le r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\le4$$$$\implies1\le r^2\le4\implies r\in[1;2]$$$$y=r\sin\varphi\ge0\implies\varphi\in\left[0\,;\;\pi\right]$$

Damit können wir das Flächenintegral formulieren:

$$F(R)=\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{1\cdot\pi} 1\cdot r\,dr\,d\varphi=\int\limits_1^2 r\,dr\cdot\int\limits_0^\pi d\varphi=\left[\frac{r^2}{2}\right]_1^2\cdot\left[\varphi\right]_0^\pi=\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)\pi=\frac32\,\pi$$

Wie lesen ab: \(a=2\), \(b=1\), \(c=1\), \(d=3\).

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