Für welche Werte von a, b, c, d, e ist die Matrix A diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Es seien $a, b, c, d, e$ reelle Zahlen und $A$ die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{lllll}7 & a & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 7 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c & d & e \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$

(i) Bestimmen Sie Rang $\left(A-3 I_{5}\right)$, Rang $\left(A-c I_{5}\right)$ und $\operatorname{Rang}\left(A-7 I_{5}\right)$ in Abhängigkeit von $a, b, c, d, e$

(ii) Für welche Werte von $a, b, c, d, e$ ist $A$ diagonalisierbar?

Es ist mir unklar was genau ich hier machen muss. Bei der (i): rechne ich hier einfach ganz normal den Rang aus?

Answer 1

zu (i): ja, ganz normal die Ränge bestimmen. Ist aber ein bisschen aufwendig,
da ja von den Parametern abhängig.

zu (ii): Ich bekomme hier zwei wesentliche Fälle:

1. $c=7$: dann ist die algebraische Vielfachheit $\mu_a(7)=4$

Für den Rang habe ich
$Rang(A-7I_5)\geq 2$, also für den Eigenraum zu $7$ und die geometrische Vielfachheit
$\mu_g(7)=\dim(Eig(7))\leq 5-2=3\lt \mu_a(7)=4$, also nicht diagonalisierbar.

2. $c\neq 7$: dann ist die algebraische Vielfachheit $\mu_a(7)=3$

Für den Rang habe ich
$Rang(A-7I_5)=3$, also für den Eigenraum zu $7$ und die geometrische Vielfachheit
$\mu_g(7)=\dim(Eig(7))=5-3=2\lt \mu_a(7)=3$, also ebenfalls nicht diagonalisierbar.