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Aufgabe:

Es seien a,b,c,d,e a, b, c, d, e reelle Zahlen und A A die reelle Matrix

(7a211070b000cde0007400003) \left(\begin{array}{lllll}7 & a & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 7 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c & d & e \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)

(i) Bestimmen Sie Rang (A3I5) \left(A-3 I_{5}\right) , Rang (AcI5) \left(A-c I_{5}\right) und Rang(A7I5) \operatorname{Rang}\left(A-7 I_{5}\right) in Abhängigkeit von a,b,c,d,e a, b, c, d, e

(ii) Für welche Werte von a,b,c,d,e a, b, c, d, e ist A A diagonalisierbar?


Es ist mir unklar was genau ich hier machen muss. Bei der (i): rechne ich hier einfach ganz normal den Rang aus?

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zu (i): ja, ganz normal die Ränge bestimmen. Ist aber ein bisschen aufwendig,
da ja von den Parametern abhängig.

zu (ii): Ich bekomme hier zwei wesentliche Fälle:

1. c=7c=7: dann ist die algebraische Vielfachheit μa(7)=4\mu_a(7)=4

Für den Rang habe ich
Rang(A7I5)2Rang(A-7I_5)\geq 2, also für den Eigenraum zu 77 und die geometrische Vielfachheit
μg(7)=dim(Eig(7))52=3<μa(7)=4\mu_g(7)=\dim(Eig(7))\leq 5-2=3\lt \mu_a(7)=4, also nicht diagonalisierbar.

2. c7c\neq 7: dann ist die algebraische Vielfachheit μa(7)=3\mu_a(7)=3

Für den Rang habe ich
Rang(A7I5)=3Rang(A-7I_5)=3, also für den Eigenraum zu 77 und die geometrische Vielfachheit
μg(7)=dim(Eig(7))=53=2<μa(7)=3\mu_g(7)=\dim(Eig(7))=5-3=2\lt \mu_a(7)=3, also ebenfalls nicht diagonalisierbar.

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