Für welches x ∈ ℝ konvergiert die Potenzreihe Sum n*xn und gegen welchen Grenzwert?

Question

Aufgabe:

Für welches x ∈ ℝ konvergiert die Potenzreihe und gegen welchen Grenzwert?

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{n*x^n}$

Problem/Ansatz:

Das wäre meine Lösung:

S = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{n*x^n}$

S‘ = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^n = \frac{1}{1-x}}$

S + S‘ = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)*x^n = \frac{S}{x}}$

S = $\frac{x}{1-x}$

S‘ = $\frac{x}{(1-x)^2}$

Kann man das so schreiben oder gibt es einen besseren Lösungsweg?

Comments

vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+n*x%5En+from+0+to+n

Answer 1

Hallo,

die letzten beiden Zeilen sind nicht richtig.

S+S'=S/x

S+1/(1-x)=S/x

S(1-1/x)=1/(x-1)

S(x-1)/x=1/(x-1)

S=x/(x-1)²

Comments

Wie würde dies für $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)*x^n}$ aussehen?