0 Daumen
174 Aufrufe

Berechnen Sie das Integral \( \iint_{B} \sqrt[4]{x^{2}+y^{2}} d x d y \) auf der Einheitskreisscheibe \( B \subset \mathbb{R}^{2} \).

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Scheibe des Einheitskreises können wir in Polarkoordinaten beschreiben:$$\vec r=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang zu Polarkoordinaten wird das Flächenelement verzerrt, was wir ausgleichen müssen:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Damit können wir das Integral konkret formulieren:

$$I=\iint\limits_B\sqrt[4]{x^2+y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{r=0}^1\sqrt[4]{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}\;r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^1\sqrt[4]{r^2}\;r\,dr=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^1r^{3/2}\,dr=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[\frac25r^{5/2}\right]_0^1=2\pi\cdot\frac25=\frac{4\pi}{5}$$

Avatar von 148 k 🚀
0 Daumen

Hallo

hier einfach Polarkoordinaten benutzen. wenn dir das nicht hilft, frag nach.

lul

Avatar von 106 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community