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Screenshot 2021-08-30 213208.jpg

Gegeben: Zwei Tangenten und zwei Punkte


Gesucht (zeichnerische Lösung): Zwei sich beruehrende Kreise durch die gegebenen Punkte:

Screenshot 2021-08-30 213234.jpg

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Die zwei Kreise sind nicht eindeutig bestimmt.

ok, gegeben:

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gesucht: beruehrkreis durch P1 mit tangente t1

Hallo,

Die zwei Kreise sind nicht eindeutig bestimmt.

das sehe ich auch so.


ok, gegeben: ... (ein Kreis an t2t_2) ... gesucht: beruehrkreis durch P1 mit tangente t1

dann gibt es im Allgemeinen gar keine Lösung, da mit dem Kreis auch die gemeinsamen Tangente der beiden Kreise im Berührpunkt fest gelegt ist. Diese wiederum muss eine bestimmte Bedingungen erfüllen, damit eine Lösung existiert.

Wenn man nur die Ebene festlegt, in der sich einer der beiden Kreise befindet, dann führt das i.A. zu einer eindeutigen Lösung (genauer: es sind wohl immer zwei Lösungen).


Zwei Tangenten im Raum, mit je einem Punkt, ... Gesucht (zeichnerische Loesung)

auf neudeutsch würde man das 'Herausforderung' nennen! Ich halte das für möglich, aber was steckt dahinter? Kannst Du uns mehr zum Hintergrund der Aufgabe sagen!


Anbei eine zeichnerische Lösung in der Ebene.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/hrLc80w9/10/

Die blauen Geraden sind die Tangenten t1,2t_{1,2}, mit den Punkten P1,2P_{1,2}. Die Aufgabe besteht im Wesentlichen darin, die gemeinsame Tangente (grün) der Kreise zu bestimmen. Diese schneidet t1t_1 in S1S_1 und t2t_2 in S2S_2. Es gilt:P1S1+P2S2=S1S2|P_1S_1| + |P_2S_2| = |S_1S_2|Durch die Wahl des Punktes S1S_1 wird quasi die Ebene festgelegt, in der sich der Kreis an P2P_2 befindet. Aus der obigen Bedingung wird dann der Punkt QQ und anschließend der Punkt S2S_2 konstruiert. Die Gerade M2S2M_2S_2 ist die Mittelsenkrechte der Strecke S1QS_1Q. Und da QQ so gewählt wurde, dass P1S1=P2Q|P_1S_1|=|P_2Q| gilt, ist obige Bedingung erfüllt.

eine Frage zum Schluß: Wie sind die Geraden gegeben? Wenn es 'zeichnerisch' gelöst werden soll, sind die auch 'zeichnerisch' gegeben?

Gruß Werner

PS.: oben im Cindy-Applet kannst Du mit der Maus einige der Punkte verschieben und die blauen Geraden verändert. Versuch's mal ;-)

Vielen Dank fuer diese Hinweise!

Zum Hintergrund:

Ich bin eigentlich Architekt und kuemmere mich um Gebaeudegeometrien. Ich dachte das Problem waere einfach loesbar, aber ich finde keine "triviale" Lösung.

Es geht um eine Gebauedefassade, die nach innen schwingt und eine Loggia bildet.

Die Geraden sind einerseits die Aussenfassade (t2) und andererseits die Loggiafassade (t1). Die Punkte auf den Geraden sind gegeben, da die Verglasungsbreiten ganzzahlige Werte bilden. (Ich komme sozusagen von beiden Seiten bei P1 bzw P2 mit meiner Fassade an)

Die unten skizzierte gelbe Linie, bestehend aus Gerade-Kreisbogen-Kreisbogen-Gerade (ich eintschuldige mich fuer nicht-mathematische Ausdrucksweise) ist mein angestrebtes Ergebnis.

Ja, t1 und t2 sowie P1 und P2 sind zeichnerisch gegeben.

Ich bekomme es hin, wenn ich mich von einer Seite vorarbeite, aber ich muss immer P1 bzw. P2 auf der Tangente verschieben, je nachdem an welcher Seite ich anfange und welchen Radius ich waehle.

Also wenn t1, t2, P1 und P2 gegeben sind, gibt es dann genau eine Lösung mit zwei Kreisen, die einen identischen Durchmesser haben? (Ansonsten gibt es ja unendlich viele Lösungen, wenn ich den Beruehrpunkt B im Applet verschiebe...)

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Gruß,

Olaf

Sorry, meine Aussage "Ich bekomme es hin, wenn ich mich von einer Seite vorarbeite, aber ich muss immer P1 bzw. P2 auf der Tangente verschieben, je nachdem an welcher Seite ich anfange und welchen Radius ich waehle." ist nicht korrekt. Bitte ignorieren.

Die obige, sehr ausfuehrliche Antwort von Werner (Nochmals vielen Dank, Werner!) muss ich jetzt erstmal verdauen und stelle weitere Fragen danach.

Gruss,

Olaf

Hallo Olaf,

Du schreibst:

Es geht um eine Gebauedefassade, die nach innen schwingt und eine Loggia bildet.
Die Geraden sind einerseits die Aussenfassade (t2) und andererseits die Loggiafassade (t1). Die Punkte auf den Geraden sind gegeben, da die Verglasungsbreiten ganzzahlige Werte bilden. (Ich komme sozusagen von beiden Seiten bei P1 bzw P2 mit meiner Fassade an)

ich habe noch Schwierigkeiten, das zu verstehen!

Haben t1t_1 und t2t_2 einen Schnittpunkt im Raum? Bzw. 'fast' einen Schnittpunkt?

Steht t2t_2 senkrecht?

Wenn der 'Loggia-Teil' noch nicht schwingt, bzw. nicht eingeschwungen ist, wie liegen dann t1t_1 und t2t_2 sowie P1P_1 und P2P_2?

Gibt es eine Stellung des schwingenden Teils, bei dem P1P_1 und P2P_2 zusammen fallen? Oder anderweitig eine definierte Lage zueinadner haben?

Wo befindet sich die Drehachse des schwingenden Teils?

Müssen die Kreise womöglich sogar gleich groß sein?


t1 und t2 sowie P1 und P2 sind zeichnerisch gegeben.

wenn t1t_1 und t2t_2 keinen Schnittpunkt haben, also windschief sind, dann liegen die Kreise in unterschiedlichen nicht zueinander parallelen Ebenen. D.h. dass mindestens einer der Kreise in einer Zeichnung als Ellipse erscheint - zumindest bei einer Parallelperspektive.

... schwingt - also bewegt sich da überhaupt irgendwas oder suchst Du nur eine Kurve bestehend aus zwei Kreisbögen, die von P1P_1 nach P2P_2 verläuft und den Übergang von der Loggia zur Fassade realisiert?

Wenn dem so ist, dann würde ich eher Bezier-Kurven oder NURBS hernehmen, und keine Kreisbögen.

Hallo Werner,

t1 und t2 liegen in einer Ebene und, genau: ich suche

nur eine Kurve bestehend aus zwei Kreisbögen, die von P1P_1 nach P2P_2 verläuft und den Übergang von der Loggia zur Fassade realisiert

Mit einer Bezier-Kurve geht das natuerlich, aber ich moechte fuer die Glasherstellung eine Lösung mit Kreisboegen, da dies fuer die Fassadenbauer am einfachsten ist und ich die Kurve mit zwei Radien beschreiben kann.

(Es schwingt also nichts so richtig, ausser die Loggiafassade beschreibt einen Kurvenverlauf)

Ich versuche die Sachlage einmal in Deinem Applet darzustellen und "poste" das dann hier.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Olaf,

ich denke, jetzt sind genug Information beisammen für eine Antwort.

Die Aufgabe besteht also darin, zwei Halbgeraden t1,2t_{1,2} (in der Ebene!) deren Endpunkte mit P1P_1 und P2P_2 bezeichnet sind, derart mit zwei Kreisbögen zu verbinden, dass die Kreisbögen knickfrei in die Strecken und in einander übergehen.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/hrLc80w9/12/

Oben siehst Du die Skizze (Punkt S2S_2 lässt sich verschieben) mit den beiden Enden P1,2P_{1,2} (gelb) der Halbgeraden t1,2t_{1,2} (blau). Wähle einen Punkt S2S_2 auf der Verlängerung von t2t_2. Trage dann die Länge P2S2|P_2S_2| auf t1t_1 ab, so dass QP1=P2S2|QP_1| = |P_2S_2| ist. Der Punkt QQ muss sich dazu hinter P1P_1 auf der Halbgeraden t1t_1 befinden (in der Skizze unterhalb von P1P_1).

Konstruiere anschließend die Mittelsenkrechte (schwarz) über der Strecke QS2QS_2. Die Mittelsenkrechte schneidet t1t_1 - bzw. deren Verlängerung - in S1S_1. Die Gerade (grün) durch S1S2S_1S_2 ist die gemeinsame Tangente t3t_3 der Kreise. Ein Kreis um S2S_2 mit Radius P2S2|P_2S_2| schneidet t3t_3 zwischen S1S_1 und S2S_2 im gemeinsamen Berührpunkt BB.

Die Senkrechte zu t3t_3 durch BB schneidet die Senkrechte zu t1t_1 durch P1P_1 in M1M_1 und die Senkrechte zu t2t_2 in P2P_2 in M2M_2. M1,2M_{1,2} sind die Mittelpunkte der gesuchten Kreisbögen (rot).

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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Hallo Werner, ich habe festgestellt, dass ich noch eine weitere Bedingung erfuellen moechte:

Die Aufgabe besteht nunmehr darin, zwei Halbgeraden t1,2t_{1,2} (in der Ebene!) deren Endpunkte mit P1P_1 und P2P_2 bezeichnet sind, derart mit zwei Kreisbögen zu verbinden, dass die Kreisbögen knickfrei in die Strecken und in einander übergehen und der Punkt des Richtungswechsels bzw. der Beruehrpunkt B der dazugehoerigen Kreise im Mittelpunkt der Strecke P1P2 zu liegen kommt.

... und der Punkt des Richtungswechsels bzw. der Beruehrpunkt B der dazugehoerigen Kreise im Mittelpunkt der Strecke P1P2 zu liegen kommt.

das ist nicht möglich! BB liegt selbst selbst auf einem Kreisbogen, der durch P1P_1 und P2P_2 verläuft. Und der Mittelpunkt von P1P_1 und P2P_2 liegt auf der Sehne dieses Kreisbogens und damit i.A. außerhalb! (ausgenommen der Sonderfall t1=t2t_1=t_2)
Alternativ könnte man BB aber so legen, dass P1B=BP2|P_1B| = |BP_2| gilt. Das wäre möglich.
Ich hätte eher erwartet, dass die Radien der beiden Kreise identisch sein sollen ...

P1B=BP2|P_1B| = |BP_2| wuerde meine Absichten erfuellen. Wie stelle ich das denn an?

(Die beiden Kreisboegen werden zu gebogenen Verglasungselementen und werden durch einen Pfosten getrennt. Wenn die Radien gleich sind, erhalte ich einen kleinen und einen großen Bogen. Es ist wichtiger, dass ich den Pfosten nach der Vorgabe P1B=BP2|P_1B| = |BP_2| zwischen P1 und P2 positionieren kann. Gleiche Radien waeren auch sehr gut, aber der Unterschied im Biegeradius ist in diesem Fall akzeptabel.)

P1B=BP2|P_1B| = |BP_2| wuerde meine Absichten erfuellen. Wie stelle ich das denn an?

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Konstruiere die Mittelsenkrechte mm (schwarz) über der Strecke P1P2P_1P_2. Diese schneidet die Winkelhalbierende (gelb) der (Halb-)Geraden t1t_1 und t2t_2 im Punkt GG. Der Kreis (rot) um GG mit Radius GP1|GP_1| liefert die möglichen Positionen von BB. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit mm liefert Dir das gewünschte BB.

Die Mittelsenkrechte der Strecke BP2BP_2 schneidet die Verlängerung von t2t_2 in S2S_2. Die Gerade (grün) durch BB und S2S_2 ist die gemeinsame Tangente. Der Rest ist wie gehabt. Die Orthogonalen durch P1,2P_{1,2} und BB liefern Dir die Mittelpunkte M1M_1 und M2M_2

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Eine robuste Loesung.

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