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Aufgabe:

Gegeben sei ein Parallelogramm im Α2(ℝ) mit den Eckpunkten E0, E1, E2 und E3.
D.h. E = (E0; E1, E2) ist ein Koordinatensystem von Α2(ℝ) mit E0 ∨ E2 || E1 ∨ E3,
E0 ∨ E1 || E2 ∨ E3.
Zeigen Sie: die beiden Diagonalen E0 ∨ E3 und E1 ∨ E2 schneiden sich im Mittelpunkt
des Parallelogramms.
(Hinweis: Zeigen Sie die Aussage zunächst für ein Quadrat und benutzen Sie für den
allgemeinen Fall eine geeignete affine Abbildung.)


Problem/Ansatz:

Ich habe dafür leider keinen geeigneten Ansatz, für jede Hilfe bin ich dankbar :-)

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Wie ist ‚Mittelpunkt des Parallelogramms‘ definiert?

Leider haben wir keine Vorgabe bzw. genauere Definition für "Mittelpunkt des Parallelogramms".

Mein Ansatz wäre, dass man über die Teilverhältnisse der Geraden, welche durch die Eckpunkte gehen zur Lösung kommen müsste. Entsprechend des Hinweises von einem Quadrat dann zum Parallelogramm führt, allerdings bin ich nach wie vor nicht weiter gekommen:/

Ist dies gemeint?

blob.png

Ja, darauf wird es hinaus laufen.

Was sollen die -Zeichen in E0 E2, E1 E3, E0 E1 und E2 E3?

Warum sind die Fußnoten 0, 1, 2 und 3 nicht tiefgestellt?

Warum ist die Reihenfolge der Fußnoten nicht gegen den Uhrzeigersinn aufsteigend?

Darüber brauche ich nicht zu diskutieren, mir ging es um einen Ansatz und nicht wie ich die Fragestellung für Sie optimal aufstelle, sondern verständlich für alle, vielen dank trotzdem Roland:-) vielleicht findet sich ja noch wer anders..

P.S. Die v-Zeichen sind genau so in der Aufgabenstellung und lassen sich erschließen (v = &, anstatt das logische ∧)

Anbei noch ein 'Abfallprodukt' aus der Beantwortung dieser Frage.

Die Eckpunkte \(A\) bis \(D\) des Vierecks lassen sich mit der Maus verschieben. Das CindyJS Script konstruiert dann jeweils die drei Punkte \(S\), \(M\) und \(F\) (s. meine Antwort)

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/5soakfq2/12/

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

Leider haben wir keine Vorgabe bzw. genauere Definition für "Mittelpunkt des Parallelogramms".

Na ja - wenn nicht definiert ist, was 'Mittelpunkt' ist, dann kann man auch nicht zeigen, dass sich die Diagonalen im Mittelpunkt schneiden. Das macht schlicht keinen Sinn.
Du kannst ja definieren, dass der Mittelpunkt eines Parallelogramms dort ist, wo sich die Diagonalen schneiden. Dann wäre die Sache damit erledigt ;-)


Hinweis: Zeigen Sie die Aussage zunächst für ein Quadrat ...

Das finde ich zunächst wenig zielführend! Wichtiger wäre zu wissen, wo sich der Mittelpunkt eines allgemeinen Vierecks befindet! Dazu folgendes:

In einem allgemeinen Viereck fallen mir drei interessante Punkte ein, die irgendwie mittig liegen.

blob.png

Da ist zunächst mal der Schnittpunkt \(S\) der Diagonalen, sowie der Schnittpunkt \(M\) der Geraden, die durch die gegenüberliegenden Mitten der Seiten gehen. \(M\) ist gleichzeitig der Schwerpunkt der vier Ecken. Und der dritte Punkt \(F\) ist der Schwerpunkt der Fläche des Vierecks. Und im allgemeinen fallen diese nicht zu einem Punkt zusammen (beim Parallelogramm schon!).


... und benutzen Sie für den allgemeinen Fall eine geeignete affine Abbildung.

Ah Ha! wir befinden uns also nicht mehr auf dem 'Standard-Schulniveau'. In diesem Kontext tippe ich mal auf den Punkt \(M\) als Mittelpunkt.

Mit einer affinen Abbildung kann man zwar kein Quadrat auf ein allgemeines Viereck abbilden (schon wegen der Parallelität), aber auf ein Parallelogramm. Sind \(a\), \(b\) und \(d\) die drei Ortsvektoren zu den den Punkten \(A\), \(B\) und \(D\) eines Parallelogramms, so kann ich das Quadrat$$e_1=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\quad e_4=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$$auf das Parallelogramm abbilden mit$$e'_{1..4} = \begin{pmatrix}b-a& d-a\end{pmatrix} e_{1..4} + a, \quad e'_{1..4}=A,\,B,\,C,\,D$$Wenn ich voraussetze, dass $$M_q= \begin{pmatrix}0,5\\ 0,5\end{pmatrix}$$der Mittelpunkt des Quadrates ist (wäre noch zu zeigen), dann ist der Mittelpunkt \(M_p\) des Parallelogramms ((!)siehe Kommentar unten)$$M_p = \frac12(b-a) + \frac12(d-a) + a = \frac12(b+d)$$und dieser Punkt muss zwangsläufig auf der Diagonalen durch \(B\) und \(D\) liegen. Ein Punkt \(Q\) auf der Diagonalen durch \(A\) und \(C\) lässt sich schreiben als$$ Q = a \lambda+ c(1-\lambda), \quad \lambda \in \mathbb R\\c = b+d-a$$\(c\) sei der Ortsvektor zum Punkt \(C\). Und für \(\lambda=0,5\) erhält man$$Q(\lambda=0,5) = 0,5a+(b+d-a)\cdot 0,5 = \frac12(b+d) = M_p$$Also liegt \(M_p\) auf beiden Diagonalen und ist folglich identisch mit dem Schnittpunkt \(S=M_p\).

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Vielen Dank, das hilft mir enorm weiter

Vielen Dank, das hilft mir enorm weiter

... da hast Du meine Antwort aber schnell durchgelesen ;-)

Mir ging es nur um den Ansatz wie bereits erklärt, den Rest werde ich versuchen selbstständig aufzustellen ;-) Danke

Mit einer affinen Abbildung kann man zwar kein Quadrat auf ein allgemeines Viereck abbilden (schon wegen der Parallelität), aber auf ein Parallelogramm.

Im Grunde braucht man ab hier gar nicht mehr weiter machen! Legt man die Ecken \(e_1\) und \(A\) zusammen, so kann man das Quadrat \(e_{1..4}\) durch eine lineare Abbildung auf das Parallelogramm \(ABCD\) abbilden. Und dann muss auch der Diagonalenschnittpunkt \(S\) mit dem Eckenschwerpunkt \(M\) zusammen fallen.

Das folgt direkt aus der Definition der linearen Abbildung (homogen & additiv)

... dann ist der Mittelpunkt \(M_p\) des Parallelogramms

an dieser Stelle setze ich voraus, dass sich der Mittelpunkt \(M_q\) des Quadrats durch eine affine Abbildung auf den Mittelpunkt \(M_p\) des Parallelogramms abgebildet wird. Das ist aber IMHO gar nicht zulässig!

Richtig wäre - wegen der Kollinearität der affinen Abbildung, dass sich der Diagonalenschnittpunkt \(S_q\) des Quadrats auf den Geradenschnittpunkt \(S_p\) des Parallelogramms abbildet!

Und der Mittelpunkt \(M_q\) des Parallelogramms wäre der Schwerpunkt der Eckpunkte - also$$M_q=\frac14(a+b+c+d) = \frac12(b+d) = S_q$$

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