Flächenberechnung von Funktionenscharen ins Unendliche

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = (2x - a)*e^-x.

a) Untersuchen Sie, ob die Fläche, die sich zwischen der x-Achse
und dem Graphen von f_-2 ins Unendliche ausdehnt, einen
endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen gegebenenfalls an.
b) Untersuchen Sie, ob die Fläche, die sich zwischen der x-Achse
und dem Graphen von f_-a ins Unendliche ausdehnt, einen
endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen gegebenenfalls an.

Problem/Ansatz:

a) f_-2(x)=(2x+2)*e^-x

Muss ich jetzt von dieser Funktion einfach das Integral von -1 (wegen der Nullstelle) bis +∞ berechnen, in dem ich hohe Werte für +∞ einsetze und schaue, ob die Fläche sich irgendwann nicht mehr verändert ?

b) f_-a(x)=(2x+a)*e^-x

Die Nullstelle der gegebenen Funktionenschar lässt sich mit x= a/2 berechnen, also müsste die Nullstelle für den Fall f_-a bei x=-a/2 liegen. Zu berechnen wäre also das Integral von -a/2 bis +∞, aber wie genau funktioniert die Rechnung dafür? Muss ich das mit der Stammfunktion berechnen ?

Comments

Dies wäre auch meine Vermutung
( nach den Graphen zu urteilen )

Nullstelle der Funktionen festellen und dann
als Intervall x(n) bis +∞ annehmen.

Answer 1

b)

Deine Überlegungen sind richtig. Und ja, das berechnest du mit der Stammfunktion. Dabei kannst du Unendlich ja nicht einsetzen, aber du kannst schauen was passiert, wenn du eine ganz große Zahl einsetzt.

∫ (- a/2 bis ∞) (e^(-x)·(2·x + a)) dx = 2·e^(a/2)

Answer 2

Stammfunktion
- e^(-x) * ( 2 * x -a + 2 )
Integrationsanfang ( Nullstelle ) = a/2
- e^(-a/2) * ( 2 )
- 2 * e^(-a/2)
Integrationsende
lim x -> + ∞ = 0

Fläche
0 - [ - 2 * e^(-a/2) ]
2 * e^(-a/2)

F =
a = 1 : 1.21
a = 2 : 1.10

Comments

Da \(f_{-a}(x)\) betrachtet werden soll, ist die Stammfunktion eine andere und die Nullstelle, wie der Frager schon wusste, "bei x=-a/2".