Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
\(f\) ist stetig, denn
1) Polynome sind stetig, also ist \((1+x)\) stetig.
2) Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig, also ist \(e^{1+x}\) stetig.
3) Das Produkt stetiger Funktionen ist stetig, also ist \(\sin x\cdot e^{1+x}\) stetig.
\(f\) ist surjektiv, denn
surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Wegen der Randwerte \(f(0)=0\) und \(f(\pi/2)=e^{1+\pi/2}\) sowie der Stetigkeit von \(f\) wird jeder Funktionswert in der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen.
\(f\) hat genau eine Nullstelle, denn
die Exponentialfunktion wird niemals Null, also sind die Nullstellen von \(f(x)\) die Nullstellen der Funktion \(\sin x\). Diese hat im Intervall \([0;\pi/2]\) genau eine Nullstele bei \(\sin(0)=0\).
