Welche Länge hat die kürzeste Verbindung zwischen der Parabel y=x2 und der Geraden y=x−1?

Question

Aufgabe:

Welche Länge hat die kürzeste Verbindung zwischen der Parabel y=x² und der Geraden y=x−1? Hinweis: verwenden Sie Lagrange-Multiplikatoren

Problem/Ansatz:

Ich verstehe zwar die Lagrange Multiplikatoren, scheine mich aber irgendwo zu verrechnen könnte mir hier jemand helfen ?

Lg Ben

Comments

scheine mich aber irgendwo zu verrechnen

Was hast Du denn gerechnet?

---

Ich habe bisher die Lagrange-Gleichung aufgestellt und durchs additionsverfahren so verreinfacht, das ich mit 2x = 0 und lamda -x-1 = 0 rauskomme, weiß aber nicht wie ich nun auf die kürzeste Verbindung kommen könnte.
Lg

---

Wenn Du hier aufschreibst was Du ausgerechnet und/oder aufgestellt hast, dann kann Dir jemand sagen, wo der Fehler ist.

---

Hallo

das macht man nicht mit Lagrange, sondern die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Parabel also Steigung 1 der Parabel, und damit Steigung -1 der normalen Verbindungsstrecke.

ich hatte übersehen, dass ihr das mit Lagrange machen solltet. Da musst du schreiben, was du gemacht hast

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

Wenn du dem Hinweis folgen und Lagrange-Multiplikatoren verwenden möchtest, kannst du die Situation wie folgt darstellen. Gesucht ist der minimale Abstand zwischen zwei Punkten $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$. Um Wurzelzeichen zu sparen, minimieren wir das Quadrat des Abstandes:$$f(x_1;x_2;y_1;y_2)=\left\|\binom{x_1}{y_1}-\binom{x_2}{y_2}\right\|^2=\left\|\binom{x_1-x_2}{y_1-y_2}\right\|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$$Als konstante Nebenbedingungen haben wir die Parabel und die Gerade:$$g(x_1;y_1)=y_1-x_1^2=0\quad;\quad h(x_2;y_2)=y_2-x_2=-1$$

Nach Lagrange muss nun der Gradient der zu optimierenden Funktion $f$ eine Linearkombination der Gradienten der beiden Nebenbedingungen $g$ und $h$ sein:$$\operatorname{grad}f(x_1;x_2;y_1;y_2)=\lambda_1\operatorname{grad}g(x_1;y_1)+\lambda_2\operatorname{grad}h(x_2;y_2)$$Da wir es hier mit vier Unbekannten zu tun haben, sind die Gradienten 4-dimensional:$$\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial y_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial y_2}\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial g}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial g}{\partial y_1}\\[1ex]\frac{\partial g}{\partial y_2}\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial h}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial h}{\partial y_1}\\[1ex]\frac{\partial h}{\partial y_2}\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{r}2(x_1-x_2)\\-2(x_1-x_2)\\2(y_1-y_2)\\-2(y_1-y_2)\end{array}\right)=\lambda_1\left(\begin{array}{c}-2x_1\\0\\1\\0\end{array}\right)+\lambda_2\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Um die Langrange-Multiplikatoren los zu werden, dividieren wir die Koordinatengleichung für die erste Komponene durch diejenige der dritten Komponente und die Koordinatengleichung für die zweite Komponente durch diejenige der vierten Komponente:$$\frac{2(x_1-x_2)}{2(y_1-y_2)}=\frac{-2x_1\cdot\lambda_1}{1\cdot\lambda_1}\quad;\quad\frac{-2(x_1-x_2)}{-2(y_1-y_2)}=\frac{-1\cdot\lambda_2}{1\cdot\lambda_2}\quad\implies$$$$\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=-2x_1\quad;\quad\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=-1$$Da beide linken Seiten gleich sind, müssen auch beide rechte Seiten gleich sein, sodass $-2x_1=-1$ bzw. $x_1=\frac12$ folgt. Wegen der Nebenbedingung $g$ ist dann $y_1=\frac14$. Dies setzen wir in die rechte Gleichung ein:

$$-1=\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=\frac{\frac12-x_2}{\frac14-y_2}\implies\frac12-x_2=-\frac14+y_2\implies y_2=\frac34-x_2$$Das setzen wir in die Nebenbedingung $h$ ein:$$-1\stackrel!=y_2-x_2=\left(\frac34-x_2\right)-x_2=\frac34-2x_2\implies-\frac74=-2x_2\implies x_2=\frac78$$Schließlich liefert die Nebenbedingung $h$ noch $y_2=x_2-1=-\frac18$.

Zusammenfassend haben wir $x_1=\frac12$, $y_1=\frac14$, $x_2=\frac78$ und $y_2=-\frac18$ und können den minimalen Abstand bestimmen:

$$d_{\text{min}}^2=f\left(\frac12\,;\;\frac78\,;\;\frac14\,;\,-\frac18\right)=\left(\frac12-\frac78\right)^2+\left(\frac14+\frac18\right)^2=2\left(\frac38\right)^2$$$$d_{\text{min}}=\frac38\,\sqrt2$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = x²f₂(x) = x-1P(1/2|1/4)P(7/8|-1/8)Zoom: x(-3…3) y(-2…2)

Comments

Tschaka, wie lange brauchst du, um eine Antwort in dieser - unfassbar ausführlichen Latex - Form zu produzieren?

---

Vielen Dank das hat mir sehr geholfen

Answer 2

Der Abstand ist dort minimal (dicker roter Strich), wo die Steigung der Parabel (d.h. ihre erste Ableitung) gleich der Steigung 1 der Geraden ist, also bei x_a = 0,5 (dünner roter Strich).

Man kann auch die euklidische Distanz minimieren, also

min $\sqrt{(x_b - x_a)^2+(x_b-1 - x_a^2)^2}$

mit der Lösung bei x_a = 1/2 und x_b = 7/8