Hallo,
wenn Du den 'Standardweg' nimmst, so kommst Du zu einer Funktion Sprungweite \(d\) in Abhängigkeit von Absprungwinkel \(\theta\) von$$h(t)=h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}\\ h(t_0)=0 \implies \\ \begin{aligned} 0 &= h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}\\ 0 &= t^2 - \frac{2v \sin\theta}{g} - \frac{2h_0}{g}\\ t_{0\space 1,2} &= \frac{v \sin\theta}{g} \pm \sqrt{\frac{v^2 \sin^2\theta}{g^2}+ \frac{2h_0g}{g^2}}\\ &= \frac 1g\left(\sin\theta \pm \sqrt{v^2 \sin^2\theta + 2h_0g}\right) \end{aligned}\\\begin{aligned} d(\theta) &= v\cos\theta \cdot t_0 \\ &= \frac{v\cos\theta}g \left(\sin\theta \pm \sqrt{v^2 \sin^2\theta + 2h_0g}\right)\end{aligned}$$Das gilt es nun abzuleiten, das geht noch, aber nach dem 0-Setzen muss es nach \(\theta\) aufgelöst werden, was mindestens unübersichtlich wird.
IMHO einfacher ist der Weg über den Lagrange-Multiplikator. Hier stellt man aus der zu optimierenden Funktion (der Sprungweite \(d\))$$d(\theta, t) = v\cos\theta \cdot t$$und der Nebenbedingung$$h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}=0$$die Lagrange-Funktion auf$$\mathcal L(\theta,\,t,\,\lambda) = tv\cos\theta + \lambda\left(h_{0}+t v \sin \theta-\frac{g t^{2}}{2}\right)$$und leitet nach \(\theta\) und \(t\) ab$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \theta} = -tv\sin\theta + \lambda tv\cos\theta\to 0 \\ \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} = v\cos\theta + \lambda\left(v \sin \theta - gt\right)\to 0 $$Die Ableitungen werden wie gewohnt zu 0 gesetzt und das \(\lambda\) eliminiert$$\begin{aligned} -\left(v \sin \theta - gt\right)tv\sin\theta &=v\cos\theta tv\cos\theta \\ \left(gt -v \sin \theta\right)\sin\theta &=\cos^2\theta v \\ gt \sin\theta &= v \\ t &= \frac{v}{g\sin\theta}\\ \end{aligned}$$das so gewonnene \(t\) setzt man in die Nebenbedingung ein$$\begin{aligned} 0&=h_{0}+ v \frac{v}{g}-\frac{g \left(\frac{v}{g\sin\theta }\right)^{2}}{2}\\ 0&=2h_{0}g+ 2v^2-\left(\frac{v}{\sin\theta }\right)^{2}\\ \left(\frac{v}{\sin\theta }\right)^{2}&=2h_{0}g+ 2v^2\\ \sin^2\theta &= \frac{v^2}{2h_{0}g+ 2v^2} \\ \sin\theta &= \frac12 \sqrt{\frac{2}{\frac{h_{0}g}{v^2}+ 1}} &&|\, \sin\theta \ge 0\\ \end{aligned}$$Zur Erläuterung hier ein Funktionsplot:
Im Koordinatensystem ist nach rechts der Absprungwinkel in [Grad] aufgetragen. Nach oben ist die Zeit \(t\) in [Sekunden] aufgetragen, die sich der Springen noch oberhalb des 0-Niveaus befindet. Als Beispiel habe ich eine Absprunghöhe von \(h_0=10\,\text m\) und eine Absprunggeschwindigkiet von \(18\,\text m/\text s\) gewählt.
Der blaue Graph gibt die Nebenbedingung an und die roten Linien sind Höhenlinien der Zielfunktion \(d(\theta,t)\). Umso dicker desto weiter. Die erste gestrichelte Linie entspricht der Weite \(d=36\,\text m\) und die dickste LInie einer Weite von \(d=48\,\text m\).
Das Optimum von hier ca. \(38°\) ist genau dann erreicht, wenn die Nebenbedingung den selben Gradienten hat wie die Zielfunktion an dieser Stelle. D.h. dort wo der blaue Graph die mittlere Höhenlinie \(d=42\,\text m\) gerade berührt. Und genau diese macht sich die Rechnung oben zu Nutze.
Der grüne gestrichelte Graph ist die Kurve der optimalen 'Linie' \(t \cdot g\sin\theta = v\) (s.o.). Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Nebenbedingung entspricht dem Einsetzen von \(t= \dots\) in die Nebenbedingung.
Gruß Werner
