lagebeziehungen - Vektoren

Question

Aufgabe:

Lagebeziehungen

A) Prüfen Sie, ob die Punkte P(0|0|6), Q(3|3|3), R(3|4|3) auf der Geraden g durch A(2|2|4) und B(4|4|2) oder sogar auf der Strecke AB liegen.

B) Für welchen Wert von t liegt P(4+t|5t|t) auf der Geraden g durch A(2|2|4) und B(4|4|2) ?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz wie die Aufgabe bearbeitet werden muss, wäre nett wenn jemand helfen könnte.

Comments

Weißt du denn, wie du eine Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellst?

Answer 1

Stell zuerst die Geradengleichung auf.

Setz dann für den $\vec{x}$ die Ortsvektoren von P, Q und R ein.

Comments

Und woran sehe ich ob die auf auf AB liegen ?

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Wenn die drei Gleichungen denselben Wert für r liefern, liegt der Punkt auf der Geraden.

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Müsste ich dann z.B.

AB= P + r * Q

rechnen oder?

Answer 2

Hallo

stelle die Gleichung der Geraden durch A und B auf, setze die Punkte ein  und stelle fest ob sie die Gleichung erfüllen in b)  bestimme t so dass die Geradengleichung erfüllt ist wenn man P einsetzt,

Gruß lul.

Comments

Kannst du mir ein Beispiel aufschreiben, ich verstehe es leider nicht ganz

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Kannst du erstmal die Gleichung mit dem Aufpunkt A und dem Richtungsvektor AB hinschreiben? dann helf ich weiter.

lul

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Das habe Ich leider auch nicht

Komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter

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Hallo

du musst doch schon mal eine Gerade durch 2 Punkte  gelegt habe. Hilfe der Richtungsvektor von A nach B ist  AB= (4,4,2)-(2,2,4)=(2,2,-2) jetzt A+r*AB ist die Gerade. kannst du dann wenigstens die Punkte einsetzen?

lul

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das zentrale Problem dieser Aufgabe ist es, eine Geradengleichung von Punkt $A(2|2|4)$ zu Punkt $B(4|4|2)$ aufzustellen. Von $A$ nach $B$ erhöht sich die x-Koordinate um $2$, die y-Koordinate auch um $2$ und die z-Koordinate vermindert sich um $2$. Mathematisch formal berechnen wir den Richtungsvektor von $A$ nach $B$ so:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}$$Damit haben wir die Geradengleichung auch schon gefunden:

$$g\colon\;\vec x=\vec a+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}$$Bevor wir weitergehen, müssen wir uns noch kurz Gedanken zum Parameter $\lambda$ machen. Für $\lambda=0$ erhalten wir Punkt $A$, für $\lambda=1$ erhalten wir den Punkt $B$. Alle Punkte mit $0\le\lambda\le1$ liegen also auf der Strecke $\overline{AB}$. Punkte mit $\lambda<0$ liegen links von Punkt $A$ und Punkte mit $\lambda>1$ liegen rechts von Punkt $B$.

Wir prüfen nun die Punkte $P(0|0|6)$, $Q(3|3|3)$ und $R(3|4|3)$ indem wir versuchen, ein passendes $\lambda$ zu finden.

$$\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda_p\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\lambda_p=-1$$Der Punkt $P$ liegt also auf der Geraden, denn wir haben ein passendes $\lambda_p$ gefunden. Der Punkt $P$ liegt aber nicht auf der Strecke $\overline{AB}$, denn $\lambda_p$ liegt nicht zwischen $0$ und $1$.

$$\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda_q\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\lambda_q=\frac12$$Der Punkt $Q$ liegt also auf der Geraden, denn wir haben ein passendes $\lambda_q$ gefunden. Der Punkt $Q$ liegt sogar auf der Strecke $\overline{AB}$, denn $\lambda_q$ liegt zwischen $0$ und $1$.

$$\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda_r\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\lambda_r\text{ ist nicht definierbar}$$Aus der Prüfung von Punkt $Q$ wissen wir bereits, dass nur $\lambda_r=\frac12$ in Betracht kommt, weil nur dafür die x- und die z-Koordinate zu $3$ werden. Damit die y-Koordinate zu $4$ wird, müsste $\lambda_r=1$ gelten. Es gibt also kein $\lambda_r$, das alle 3 Koordinatengleichungen erfüllt. Daher liegt der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden und damit erst recht nicht auf der Strecke $\overline{AB}$.

Comments

Deine Antwort war mir sehr hilfreich, so konntest du mir gerade die gesamte Aufgabe sehr anschaulich erklären, dankee dir !

Hättest du vielleicht auch eine Idee für Aufgabe b ?

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Löse das Gleichungssystem

[2, 2, 4] + r·([4, 4, 2] - [2, 2, 4]) = [4 + t, 5·t, t] --> r = 1.5 ∧ t = 1

Für t = 1 liegt P auf der Geraden und zwar für den Parameterwert r = 1.5

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Dankee, habs nun verstanden

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Wäre es vielleicht möglich nochmal eine Erklärung zu b) zu bekommen

Verstehe gerade nicht wieso dieses Ergebnis raus gekommen ist :/

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Wäre es vielleicht möglich nochmal eine Erklärung zu b) zu bekommen. Verstehe gerade nicht wieso dieses Ergebnis raus gekommen ist :/

Verstehst du denn den Ansatz?

[2, 2, 4] + r·([4, 4, 2] - [2, 2, 4]) = [4 + t, 5·t, t]

Also das man die Gerade durch die Punkte A und B gleich dem Punkt P setzt?

Könntest du dann das in Vektoren geschriebene Gleichungssystem als 3 Gleichungen eines LGS schreiben?

Kannst du dann probieren dieses LGS zu lösen?

Wenn du irgendwobei Schwierigkeiten hast wäre es hilfreich zu wissen wo genau.

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Also den Lösungsansatz verstehe ich, aber dessen mit dem LGS gerade verstehe ich nicht ?

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[2, 2, 4] + r·[2, 2, -2] = [4 + t, 5·t, t]

ergibt das LGS

2·r + 2 = 4 + t
2·r + 2 = 5·t
4 - 2·r = t

welches du jetzt lösen sollst. Das hast du sicher schon ein paar mal gemacht oder nicht?

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Für die einzelnen Gleichungen habe ich

1 + 0,5t

5/2t - 1

0,5t - 1

Aber wie ich dabei weiter vor ?

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Die ersten beiden Gleichungen nach r aufgelöst ergeben

r = 1 + 0.5·t
r = 5/2·t - 1

Bei der dritten Gleichung hast du dann einen Fehler gemacht.

Du könntest jetzt das Gleichsetzungsverfahren anwenden

r = r
1 + 0.5·t = 5/2·t - 1

Daraus könntest du jetzt bestimmt auch t bestimmen.

Answer 4

Ich hätte den Teil a) etwas modifiziert gelöst

A + r*AB = P kann man auch schreiben als
r*AB = P - A
r*AB = AP
AP = r*AB

Damit braucht man AP nur als Vielfaches von AB darstellen

a) Prüfen Sie, ob die Punkte P(0 | 0 | 6), Q(3 | 3 | 3), R(3 | 4 | 3) auf der Geraden g oder sogar auf der Strecke AB liegen.

AB = B - A = [4, 4, 2] - [2, 2, 4] = [2, 2, -2]
AP = P - A = [0, 0, 6] - [2, 2, 4] = [-2, -2, 2]
AQ = Q - A = [3, 3, 3] - [2, 2, 4] = [1, 1, -1]
AR = R - A = [3, 4, 3] - [2, 2, 4] = [1, 2, -1]

AP = - 1·AB → Damit liegt P auf der Geraden g allerdings vor A.
AQ = 0.5·AB → Damit liegt Q genau in der Mitte der Strecke AB.
AR = r·AB hat keine Lösung. → Damit liegt R nicht auf der Geraden g.

b) Für welchen Wert von t liegt P(4 + t | 5t | t) auf der Geraden g?

g = P
[2, 2, 4] + r·[2, 2, -2] = [4 + t, 5·t, t] → r = 1.5 ∧ t = 1

Für t = 1 liegt der Punkt P auf der Geraden g.