Aus dem Modell $$ F(\alpha_1) = \sum_{i=1}^n \left( y_i - \alpha_1 x_i \right)^2 \rightarrow \text{Minimal} $$ folgt
$$ \alpha_1 = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i y_i }{ \sum_{i=1}^n x_i^2 } $$
Wenn \( \alpha_1 = \beta_1 \) gelten soll, muss gelten
$$ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i y_i } { \sum_{i=1}^n x_i^2 } = \frac{ s_{xy} } { s_x^2 } = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x} ) (y_i-\overline{y} ) } {\sum_{i=1}^n (x_i -\overline{x} )^2 } = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i y_i - n \overline{x} \overline{y} } { \sum_{i=1}^n x_i^2 - n \overline{x}^2 } $$
Das bedeutet aber, es gilt
$$ \frac{ \sum_{i=1}^n x_i y_i } { \sum_{i=1}^n x_i^2 } = \frac{ \overline{y} } { \overline{x} } $$ und daraus folgt $$ \beta_0 = 0 $$
