Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g mit g(x) = x * f(x) Ebenfalls die x-Achse im Punkt P berührt.

Question

Aufgabe: Der Graph der Funktion f berührt die x-Achse im Punkt P(2|0). Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g mit g(x) = x * f(x) Ebenfalls die x-Achse im Punkt P berührt.

Answer 1

Hallo,

$f$ berührt die $x$-Achse an der Stelle $x_0=2$ genau dann, wenn $f(2)=f'(2)=0$.

Nun soll gezeigt werden, dass $g(x)=x\cdot f(x)$ dies ebenfalls erfüllt.

Zunächst ist $g(2)=2\cdot f(2)=2\cdot 0=0$ erfüllt.

Weiter ist $g'(x)=f(x)+x\cdot f'(x)$, daher $g'(2)=f(2)+2\cdot f'(2)=0+2\cdot 0=0$.

Folglich besitzt auch $g$ bei $P(2|0)$ einen Berührpunkt.