limes (f(xn)-f(87))/(xn-87), n gegen unendlich, wobei xn= 87+ 1/n3

Question

Aufgabe:

Es sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3} .$ Berechnen Sie $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{n}\right)-f(87)}{x_{n}-87}$ für $x_{n}=87+\frac{1}{n^{3}}$

Answer 1

Ich vermute, du meinst den Term:

$$\frac { { (87+{ n }) }^{ 3 }-{ 87 }^{ 3 } }{ 87+{ n }^{ 3 }-87 }$$

und willst dessen Wert für n → ∞ bestimmen.

Das geht so:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { (87+{ n }) }^{ 3 }-{ 87 }^{ 3 } }{ 87+{ n }^{ 3 }-87 } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { 87 }^{ 3 }+3*{ 87 }^{ 2 }*n+3*87*{ n }^{ 2 }+{ n }^{ 3 } }-{ 87 }^{ 3 } }{ { n }^{ 3 } } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 3*{ 87 }^{ 2 }*n+3*87*{ n }^{ 2 }+{ n }^{ 3 } } }{ { n }^{ 3 } } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3*{ 87 }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 3*87 }{ n } +\frac { 1 }{ 1 } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3*{ 87 }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3*87 }{ n } } +\lim _{ n\rightarrow \infty }{ 1 } }$$$$=0+0+1$$$$=1$$

Der Wert des Termes konvergiert also gegen 1.

 

EDIT: Nachdem nun klar ist, welcher Term gemeint ist, hier die entsprechende Grenzwertberechnung:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { \left( 87+{ \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } } \right) }^{ 3 }-{ 87 }^{ 3 } }{ { 87+{ \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } } }-87 } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 87 }^{ 3 }+{ \frac { 3*{ 87 }^{ 2 } }{ { n }^{ 3 } } +{ \frac { 3*{ 87 } }{ { n }^{ 6 } } } }+{ \frac { 1 }{ { n }^{ 9 } } }-{ 87 }^{ 3 } }{ { { \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } } } } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( { \frac { 3*{ 87 }^{ 2 } }{ { n }^{ 3 } } +{ \frac { 3*{ 87 } }{ { n }^{ 6 } } } }+{ \frac { 1 }{ { n }^{ 9 } } } \right) * }{ \frac { { n }^{ 3 } }{ 1 } } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \quad 3*{ 87 }^{ 2 } } +\frac { 3*{ 87 } }{ { n }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 6 } }$$$$=3*{ 87 }^{ 2 }+0+0$$$$=22707$$

Comments

Danke den Lösungsweg hab ich verstanden :)!

Nur steht in der Klammer oben  : (87+1/n^3)^3 und nicht (87/n)^3

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Nur steht in der Klammer oben  : (87+1/n³)³

Nein,in der Klammer steht (ich zitiere): (87+1n3)³

Wenn ich richtig geratn hätte, was " 1n3 " bedeuten sollte, hätte ich mich nicht noch einmal mit dieser Aufgabe beschäftigen müssen ... 

Nun, die korrekte Lösung habe ich als EDIT in meine Antwort geschrieben, weil man sie dort besser lesen kann, als hier im Kommentar.

Answer 2

wie mein Vorgänger schon rückgemeldet hat, kann niemand verstehen wie dieser Bruch aussehen soll. Daher bekommst Du auch keine Antwort.

Im Nenner steht 1/n³ schreibst Du, meinst Du vielleicht "im Nenner steht n³ ?

Und dann macht mich der Bruch 87³/87 stutzig. Es liegt nahe, dass Du hier zwei größere Terme jeweils in Zähler und Nenner hast, aber vergessen hast, sie in Klammern zu packen. Dazu paßt dann aber Dein Satz über 1/n³ im Nenner wiederum gar nicht.

Mit hilflosem Gruß

M.

Answer 3

limes (f(xn)-f(87))/(xn-87), n gegen unendlich, wobei xn= 87+ 1/n³

 (f(xn)-f(87))/(xn-87)

= (xn³ - 87³)/(xn-87)

Zähler: (87 + 1/n³)³ - 87³ = 87³ + 3*87²/n³ + 3*87/n⁶ + 1/n⁹ - 87³  

=  3*87²/n³ + 3*87/n⁶ + 1/n⁹ 

Nenner

87 + 1/n³ - 87 = 1/n³

Also jetzt Zähler mal Kehrwert des Nenners.

 (f(xn)-f(87))/(xn-87) = (  3*87²/n³ + 3*87/n⁶ + 1/n⁹ ) *(n³)

= 3*87² + 3*87/n³ + 1/n⁶

Jetzt n gegen unendlich

lim (f(xn)-f(87))/(xn-87) =lim 3*87² + 3*87/n³ + 1/n⁶ = 3*87²