logische Aussagen zu Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Es seien A die Aussage x² − 2x − 3 > 0 und B die Aussage x > 3. Welche der folgenden Behauptungen sind richtig, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antworten. Hinweis: Aufgabe 4 und Inhalte der Vorlesung.

A =⇒ B
(b) B =⇒ A
(c) A ist notwendig für B
(d) B ist hinreichend für A
(e) A ist hinreichend für B
(f) B ist notwendig für A
(g) nicht(B) =⇒ nicht(A)
(h) nicht(A) =⇒ nicht(B)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, hier ind er Aussagenlogik komme ich nicht mehr ganz voran, könnte mir jemand helfen.

Ich weiß nicht wie ich das Lösen Kann.

Könnte ich ein Bspl. haben das ich anhand der Lösungen weiter arbeiten kann...

Das ist auch kein Pflichtfach oder so aber ich kapier es nicht und will es verstehen.

Answer 1

Aloha :)

Wir können $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ faktorisieren, sodass$$A\colon f(x)=(x-3)(x+1)>0\qquad;\qquad B\colon x>3$$

(a) $A\implies B$$\quad\otimes$

Für $x=-2$ ist $f(-2)>0$, aber $x<3$. Die Aussage ist daher falsch.

(b) $B\implies A$$\quad\checkmark$

Für $x>3$ sind beide Faktoren von $f(x)$ positiv, also ist $f(x)$ positiv und $A$ erfüllt.

(c) $A$ ist notwendig für $B$$\quad\checkmark$

Diese Aussage ist äquivalent zu (b).

(d) $B$ ist hinreichend für $A$$\quad\checkmark$

Diese Aussage ist äquivalent zu (b).

(e) $A$ ist hinreichend für $B$$\quad\otimes$

Diese Aussage ist äquivalent zu (a).

(f) $B$ ist notwendig für $A$$\quad\otimes$

Diese Aussage ist äquivalent zu (a).

(g) $\lnot B\implies\lnot A$$\quad\otimes$

Diese Aussage ist äquivalent zu (a).

(h) $\lnot A\implies\lnot B$$\quad\checkmark$

Diese Aussage ist äquivalent zu (b).

Du kannst dir merken: Der Pfeil zeigt vom Hinreichenden weg und zum Notwendigen hin:$$\boxed{\text{hinreichend}\implies\text{notwendig}}$$

Comments

Einfach nur Genie. Heftig. Ich wünschte es wäre für mich auch so einfach ^^. Vielen Dank dir.

Answer 2

A kann man so schreiben: (x-3)(x+1)>0

1.x-3 >0 u. x+1 >0

x>3  ∧ x>-1

-> x >3

2. x<3 u. x<-1 (Bedingung)

x< -1

L= (-oo;-1) υ (3;oo)

Das sollte weiterhelfen.

Comments

@Gast2016

Bitte korrigiere deine Fehler.

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Ja okay und weiter? Was soll ich jetzt machen? Einfach richtig und falsch oder Warheitsstabellen?

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@abacus:

Danke. :)

Wieder ein dummer Tippfehler mit Kettenreaktion.

Answer 3

1. Schritt umformen der Ungleichung durch quadratische Ergänzung

(x-1)²>4 dann über lege ob dafür x>3 a) hinreichend ist, b) notwendig,(x=-1 erfüllt die UNGL. AUCH

dann:  ist für x>3 notwendig  dass  A gilt? ist es hinreichend

usw

jedes der Aussagen einfach überprüfen!

Comments

Was? Ich hab da gar nichts kapiert. Vor allem mit der quadratischen Ergänzung.

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x² − 2x − 3 > 0 |+1

x²-2x+1-3>1

(x-1)²-3>1 |+3

(x-1)²>4

dann überlegen wenn x>3 ist  also B gilt dann A dann ist B hinreichend für A , muss B sein, damit A gilt? dann ist es notwendig.

so musst du jeden Punkt überprüfen, es hilft wenig, wenn wir das tun.

lul