Lagrange Verfahren berechnen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion $F(K, L)$ mit den Inputfaktoren $K$ für Kapital und $L$ für Arbeit auf
$F(K, L)=K+L^{0.4}$
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt $p_{K}=14$ und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt $p_{L}=0.55$. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 130 ME produziert werden soll.
a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor $L$ im Kostenminimum?
b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor $K$ im Kostenminimum?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ im Kostenminimum?
d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor  im Kostenminimum?  gerundet 0.02
b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor K im Kostenminimum?  gerundet 130.21

c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator  im Kostenminimum?  gerundet 14

d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten? gerundet 1823

Habe diese Ergebnisse errechnet. Stimmen diese Ergebnisse? Bitte Hilfe

Answer 1

Ich komme auf etwas ganz anderes.

Wenn Du Deinen Rechenweg einstellst, kann Dir jemand sagen, wo der Fehler liegt.

Answer 2

Aloha :)

$$C(K;L)=14K+0,55L\to\text{Minimum}\quad;\quad F(K;L)=K+L^{0,4}\stackrel!=130$$Die Kostenfunktion $C(K;L)$ soll unter der konstanten Nebenbedingung $F(K;L)=130$ optimiert werden. Nach Lagrange muss dazu der Gradient der Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, reduziert sich diese Forderung auf:$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(K;L)\quad\implies\quad\binom{14}{0,55}=\lambda\binom{1}{0,4L^{-0,6}}$$Aus der 1. Koordinatengleichung $14=\lambda\cdot1$ folgt der Langrange-Multiplikatior $\boxed{\lambda=14}$

Aus der 2. Koordinatengleichung können wir nun $L$ bestimmen:$$0,55=14\cdot0,4L^{-0,6}\implies L^{0,6}=\frac{5,6}{0,55}\implies L=\left(\frac{112}{11}\right)^{\frac53}\implies\boxed{L\approx47,8309}$$

Aus der Nebenbedingung folgt $K$:$$K=130-L^{0,4}\implies\boxed{K\approx125,3023}$$

Und schließlich erhalten wir die minimalen Kosten durch Einsetzen in $C$:$$C_\text{min}=14\cdot125,3023+0,55\cdot47,8309\implies\boxed{C_{\text{min}}=1780,54}$$

Dein Lagrange-Multiplikatior ist mit $\lambda=14$ korrekt, aber da muss man nichts runden, der ist genau $14$. Vermutlich hast du dich in deiner Rechnung irgendwo verstolpert. Vielleicht versuchst du, die Rechnungen hier in der Antwort nachzuvollziehen. Und wenn du Fragen hast, bitte einfach melden ;)