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Aufgabe:

Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

limn \lim\limits_{n\to\infty} 5n+11n+42nn \sqrt[n]{5^n+11^n+42^n}


Problem/Ansatz:

Die Lösung der Aufgabe ist folgende:

Es gilt 42n ≤ 5n + 11n ≤ 42n ≤ 3 * 42n und mit der Monotonie der n-ten Wurzel auch

42 ≤ 5n+11n+42nn \sqrt[n]{5^n+11^n+42^n}  ≤ 42 * 3n \sqrt[n]{3} Da 3n \sqrt[n]{3}   gegen 1 konvergiert folgt nach dem Sandwich-Lemma:

limn \lim\limits_{n\to\infty} 5n+11n+42nn \sqrt[n]{5^n+11^n+42^n} = 42.


Nun zu meiner Frage:

Warum nimmt man als obere Grenze ausgerechnet ≤ 3 * 42n? Könnte ich hier nicht auch 42n ≤ 5n + 11n ≤ 42n 58n nehmen? Der Grenzwert wäre dann 58. Wäre vermutlich falsch?

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Das wäre nicht falsch, aber uninformativ, weil du dann nur

42lim5842\leq \lim \leq 58 erhieltest: das wäre ein sehr dickes Sandwich !

Avatar von 29 k

Vielen Dank!

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