Aufgabe:
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
n→∞lim n5n+11n+42n
Problem/Ansatz:
Die Lösung der Aufgabe ist folgende:
Es gilt 42n ≤ 5n + 11n ≤ 42n ≤ 3 * 42n und mit der Monotonie der n-ten Wurzel auch
42 ≤ n5n+11n+42n ≤ 42 * n3 Da n3 gegen 1 konvergiert folgt nach dem Sandwich-Lemma:
n→∞lim n5n+11n+42n = 42.
Nun zu meiner Frage:
Warum nimmt man als obere Grenze ausgerechnet ≤ 3 * 42n? Könnte ich hier nicht auch 42n ≤ 5n + 11n ≤ 42n ≤ 58n nehmen? Der Grenzwert wäre dann 58. Wäre vermutlich falsch?