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Aufgabe:


Grenzwert der Reihe mit Sandwich - Theorem bestimmen



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Text erkannt:

a) Sandwich-Theorem (aka Satz von den zwei Polizisten / Kebablemma) definieren.
b) Mithilfe des oben genannten Satzes den Grenzwert der Reihe \( \sum \limits_{1 \leq k}^{n} \frac{k}{2 *\left(n^{2}+k\right)} \) bestimmen. (Hinweis: Summenformel)

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Aloha :)

zu a) Ein positiver Bruch wird kleiner, wenn wir seinen Nenner vergrößern. Daher können wir eine untere Grenze festlegen, indem wir im Nenner \(k\) durch \(n\) ersetzen. Ein posiiver Bruch wird größer, wenn wir seinen Nenner verkleinern. Daher können wir eine obere Grenze festelgen, indem wir im Nenner \(k\) weglassen:

$$\red{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n}}\le\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k}\le\blue{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}$$

zu b) In den farbigen Summen können wir nun jeweils den Nenner vor die Wurzel ziehen, da die Indexvaribale \(k\) darin nicht mehr auftaucht. Mit der berühmten Summenformel von Gauß (vgl. Hinweis)$$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n^2+n}{2}$$können wir die Summen dann konkret ausrechnen:$$\red{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n}}=\frac12\cdot\frac{1}{n^2+n}\cdot\sum\limits_{k=1}^nk=\frac12\cdot\frac{1}{n^2+n}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\red{\frac14}$$$$\blue{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}=\frac12\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\sum\limits_{k=1}^nk=\frac12\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\frac14\frac{n^2+n}{n^2}=\blue{\frac14\left(1+\frac1n\right)}$$

Das führt uns zu der Abschätzung:$$\red{\frac14}\le\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k}\le\blue{\frac14\left(1+\frac1n\right)}$$

Im Grenzübergang \(n\to\infty\) verschwindet die Nullfolge \(\blue{\frac1n}\) in der oberen Grenze und sie konvergiert gegen \(\frac14\). Daher gilt:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k}{2(n^2+k)}=\frac14$$

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Ich würde als erstes die Abschätzung

2n²<2(n²+k)<2(n²+n)

probieren.

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Das ist Nenner, wenn ich richtig verstehe. Und was steht im Zähler? n bei 2n^2 und n^2 bei 2(n^2+n)?

Und was steht im Zähler?

Da steht k.

bei mir übereinstimmen die Grenzwerten nicht(( Vielleicht könntest du noch ein bisschen erklären?

bei mir übereinstimmen die Grenzwerten nicht(( Vielleicht könntest du noch ein bisschen erklären?

Du hast da etwas missverstanden. Ich habe an keiner Stelle gesagt, dass man den Grenzwert so findet.

Du hast übrigens nicht mal eine Frage zur Aufgabe gestellt. Du hast die Aufgabe kommentarlos zitiert (nach dem Motto: Löst die mal für mich).

Ich nehme an, du bist Student. Die Wortbedeutung davon ist "studere", das heißt "sich bemühen".

Ich habe dir lediglich geschrieben, was ich als erstes probieren würde, wenn ich die Aufgabe lösen müsste. Das kann zum Erfolg führen oder auch nicht. Mit deinen beiden Grenzwerten hast du immerhin ein Intervall, in dem der tatsächliche Grenzwert liegen muss. Das ist ja auch schon etwas. (Und du hast dich bemüht.)

Es interessiert mich selbst: Was sind deine beiden Grenzwerte?

Vermutlich muss man eine schärfere Eingrenzung vornehmen als die in meinem ersten Vorschlag.


wolframalpha liefert übrigens eine sehr exotische Antwort:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+k%2F%282%28n%5E2%2Bk%29%29%2C+k%3D1+to+n

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