Berechnen Sie bestimmtes Integral einer Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie

$\int \limits_{2}^{5} f(x) \mathrm{d} x$ für $f(x)=e^{0.5 x-6}+4$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, das Problem mit Geogebra zu lösen, aber es kommt 10,5 heraus, was falsch ist. Was ist die Lösung?

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo,

$\int \limits_{2}^{5}\left(e^{0.5 x-6}+4\right) d x=12.0469$

Answer 2

$\int\left(e^{0.5 x-6}+4\right) d x=2 e^{0.5 x-6}+ 4 x + const.$

vgl. auch https://www.mathelounge.de/878823/

Comments

Ich verstehe nicht ganz, was Sie meinen. Was soll ich nun tun?

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Wie schon in der verlinkten Antwort geschrieben: Das bestimmte Integral ist die Stammfunktion am oberen Ende minus die Stammfunktion am unteren Ende.

Answer 3

Über die Ableitung erkennst du schnell die Stammfunktion der e-Fkt.

Comments

Text erkannt:

$f(x)=$ Ableitung $\left(e^{0.5 x-6}+4\right)$
$\rightarrow \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x-6}$
$a=\operatorname{In} t \operatorname{egral}\left(\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x-6}, 2,5\right)$
$\rightarrow 0.02$

Stimmt das?

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Damit 1/2 beim Ableiten verschwindet, muss der Faktor 2 lauten.

2*1/2 = 1

-> F(x) = 2*e^(0,5x-6) +4x +C

Answer 4

Aloha :)

$$\int\limits_2^5\left(e^{0,5x-6}+4\right)dx=\int\limits_2^5e^{0,5x-6}dx+\int\limits_2^54\,dx$$

Du weißt doch sicher, dass das Integrieren die Umkehrung vom Ableiten ist. Stell dir vor, du müsstest die Exponentialfunktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten, dann bekommst du:$$\left(e^{0,5x-6}\right)'=\underbrace{e^{0,5x-6}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(0,5x-6)'}_{=\text{innere Abl.}}=e^{0,5x-6}\cdot0,5$$Der Integrand beim ersten Integral ist stimmt bis auf den Faktor $0,5$ mit seiner Ableitung überein. Daher kannst du das Integral sofort hinschreiben:

$$\int\limits_2^5e^{0,5x-6}dx=2\int\limits_2^5e^{0,5x-6}\cdot0,5\,dx=2\int\limits_2^5\left(e^{0,5x-6}\right)'dx=2\left[e^{0,5x-6}\right]_2^5=0,0469189$$Das zweite Integral ist einfach$$\int\limits_2^54\,dx=\left[4x\right]_2^5=12$$Wir bauen zusammen:$$\int\limits_2^5\left(e^{0,5x-6}+4\right)dx=12,0469189$$