Gibt es dazu einen Satz?

Question

Aufgabe: Wen ich eine beliebige 2x3 Matrix von links mit einer 2x2 Matrix, deren Treppennormalform die Einheitsmatrix multipliziere, ändert sich dann die TNF der 2x3 Matrix

Problem/Ansatz: Gibt das dazu einen Satz ?

Comments

Ist das die wörtliche Wiedergabe der Aufgabe?

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Nein, das ist mein Lösungsansatz, die Aufgabe ist sei

A= $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix}$$  B = $$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$und X eine beliebe 23 Matrix beweisen Sie das A(BX) und X die gleiche Treppennormalform haben.

Mein Ansatz, da Matrizenmultiplikation Assoziativ ist kann ich (AB)X   verwenden,
AB = $$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2a & 3 \end{pmatrix}$$ die TNF ist Im.

Dann folgere ich (wen dem so ist) das durch die Multiplikation die TNF sich nicht ändert

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Ob der Satz einen bestimmten Namen hat: keine Ahnung.

Die Aussage ist jedenfalls richtig. Man spricht, dass die TNF invariant unter Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen ist.

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Ok, danke, wieder was gelernt

Answer 1

Ich möchte etwas weiter ausholen:

Zwei Matrizen sollen "zeilenäquivalent" heißen ($\sim$),

wenn die eine durch sukzessive elementare Zeilenumformungen

in die andere übergeht. In jeder Äquivalenzklasse liegt genau eine

Matrix, die in reduzierter TNF (reduzierter Zeilenstufenform)

vorliegt. Sei nun $X$ eine $m\times n$-Matrix und $T\sim X$

ihre eindeutig bestimmte red. TNF. Ferner sei $A$ eine

invertierbare $m\times m$-Matrix. Diese ist zeilenäquivalent zur

Einheitsmatrix $E_m$, also $AX\sim E_mX=X\sim T$.